Равномерная ограниченность резольвенты на мнимой оси

[demolishka]

Пусть $A \colon \mathcal{D}(A) \to \mathbb{H}$ есть неограниченный оператор, который является генератором $C_{0}$-полугруппы в комплексном гильбертовом пространстве $\mathbb{H}$. Предположим, что в некоторой $\varepsilon$-окрестности мнимой оси оператор $A$ не имеет спектра. Верно ли, что операторы $(A-i\omega I)^{-1}$ равномерно ограничены в смысле нормы $\mathcal{L}(\mathbb{H})$ при $\omega \in \mathbb{R}$? Верно ли то же самое для нормы $\mathcal{L}(\mathbb{H},\mathcal{D}(A))$, где $\mathcal{D}(A)$ снабжено нормой графика.

Для экспоненциально устойчивой полугруппы ответ на первый вопрос дает оценка из теоремы Хилле-Иосиды. В общем случае не знаю как подступиться.

[demolishka]

На MO сообщили, что утверждение, вообще говоря, не верно (спектр в общем случае не определяет рост нормы). Ну и ладно