Отображение кососимметричных матриц на спец.ортогональные

[Saxartur]

Задание: Доказать, что экспонента отображает алгебру косоэрмитовых матриц на группу унитарных, а алгебру кососимметричных матриц — на группу специальных ортогональных.


Для начала заметим, что экспонента сохраняет комплексное сопряжение и транспонирование, действительно:

$$\left( \sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}A^k}\right)^T=\sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}(A^k)^T} \Rightarrow \exp(A^T)=\exp(A)^T$$

Аналогично для комплексного сопряжения, тогда можем говорить, что $\exp(A^*)=\exp(A)^*$

Пусть $A$ - косоэрмитова матрица, тогда существует эрмитова матрица $B$, такая, что $A=iB$, действительно, $B=-iA$ подходящая матрица , тогда пусть $A=iB$, заметим, что $B$ унитарно приводима к диагональному виду, причем на диагонали будут стоять действительные элементы, тогда:

$$\exp(A)=\exp(iB)=\exp(T(iD)T^{-1})=T\exp(iD)T^{-1}=T(\cos(D)+i\sin(D))T^{-1}$$

$$\exp(A)^*=(T(\cos(D)+i\sin(D))T^{-1})^*=T(\cos(D)-i\sin(D))T^{-1}$$

Легко видеть, что $\exp(A)\exp(A)^*=\operatorname{E}$ , в силу того, что $\cos(D)^2+\sin(D)^2\tl=\operatorname{E}$, значит $\exp(A)$ - унитарная матрица. Ну и легко показать, что для любой унитарной матрицы $U$, найдется косоэрмитова матрица $A$, т.ч. $\exp(A)=U$. Действительно, т.к. $U$ - унитарно приводима к диагональной матрице $D$ и т.к. собственные значения $U$ лежат на единичной комплексной окружности, то любой элемент диагонали матрицы $D$ выражается как $\cos(\alpha)+i\sin(\alpha)$, для некоторого $\alpha$, тогда введем матрицу $D'=(\arg(\lambda_i))$, где $D=(\lambda_i)$, тогда $\exp(iD')=D$ , ну а тогда $A=iTD'T^{-1}$ , значит $\exp$ - сюръективно отображает множество косоэрмитовых матриц на множество унитарных.
$\textbf{Пункт (а) доказан}$

Теперь пусть $A$ - кососимметричная матрица, тогда:

$$\operatorname{E}=\exp(A+A^T)=\exp(A)\exp(A^T)=\exp(A)\exp(A)^T \Rightarrow \exp(A)^{-1}=\exp(A)^T$$

Значит $\exp(A)$ - ортогональная матрица, но более того $\det(\exp(A))=1$, действительно, т.к. $A$ - кососимметричная матрица, то она подобна диагональной, причем элементы диагонали чисто мнимые и симметричны относительно нуля, тогда:

$$\det(\exp(A))=\det(T\exp(D)T^{-1})=\det(\exp(D))=e^{\lambda_1}e^{\lambda_2}\ldots e^{\lambda_n}=e^{\operatorname{tr}(A)}=e^0=1$$

Значит, $\exp(A)$ - специальная ортогональная.

И дальше я не понял как доказать доказать, что $\exp$ $\textbf{сюръективно}$ отображает множество кососимметричных матриц на множество специальных ортогональных ? Что тут можно сделать ?

[pogulyat_vyshel]

Думаю есть способ проще: $\dot x=Ax\Longrightarrow x(t)=e^{tA}x(0)$

[Saxartur]

pogulyat_vyshel в сообщении #1461825 писал(а):

Думаю есть способ проще: $\dot x=Ax\Longrightarrow x(t)=e^{tA}x(0)$

Не понимаю как это может помочь, можете объяснить, если вас не затруднит ?

[Saxartur]

У меня получилось-таки продвинуть мое решение до конца.

$\exp$ сюръективно отображает множество кососимметрических матриц на множество специальных ортогональных, действительно, пусть $S$ - специальная ортогональная матрица, тогда она приводима к каноническому виду ортогональной матрицей, то есть $S=TDT^{-1}$, где $D=(H_i)$ - блочно-диагональная матрица, с блоками

$$H_i= \begin{pmatrix} \cos(\alpha_i) & -\sin(\alpha_i)\\ \sin(\alpha_i) & \cos(\alpha_i) \end{pmatrix} \text{или}\begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}\text{или}\begin{pmatrix} -1&0\\ 0 &-1 \end{pmatrix}$$

И $T^{-1}=T^T$, она состоит именно из таких блоков , т.к. количество блоков $1\times1$ c $(-1)$ четно, т.к. $\det(S)=1$, значит их можно разделить на такие блоки $2\times 2$, тогда введем новую блочно-диагональную матрицу $D'=(H'_i)$, где

$$H'_i=\begin{pmatrix} 0 &-\alpha_i\\ \alpha_i & 0 \end{pmatrix}\text{или}\begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix} \text{или} \begin{pmatrix} 0 &-\pi\\ \pi &0 \end{pmatrix}$$

Тогда в силу того, что функция от блочной матрицы равняется блочной матрице функций от ее блоков имеем

$$\exp(D')=D \Rightarrow T\exp(D')T^{-1}=S \Rightarrow \exp(TD'T^{-1})=S $$

$TD'T^{-1}$ - кососимметрическая матрица, т.к. $D'$ - это просто на просто каноническая форма кососимметрического оператора

$\textbf{Сюръективность доказана } \Rightarrow \textbf{Пункт (б) доказан}$

В общем как-то так, если есть ошибки, прошу уведомить.

[pogulyat_vyshel]

Saxartur в сообщении #1461847 писал(а):

Не понимаю как это может помочь, можете объяснить, если вас не затруднит ?

ну, например, пусть матрица $A$ -- косоэрмитова. Тогда легко проверить, что для для любых решений $x(t),y(t)$ дифура справедливо равенство $(x(t),y(t))=(x(0),y(0))$. Просто убедиться в том, что $\frac{d}{dt}(x(t),y(t))=0$. Ну значит $e^{At}$ сохраняет скалярное произведение

-- 11.05.2020, 19:04 --

ну а вообще если учесть, что все указанные типы матриц диагонализируются над полем комплексных чисел

[Saxartur]

pogulyat_vyshel в сообщении #1461876 писал(а):

Saxartur в сообщении #1461847 писал(а):

Не понимаю как это может помочь, можете объяснить, если вас не затруднит ?

ну, например, пусть матрица $A$ -- косоэрмитова. Тогда легко проверить, что для для любых решений $x(t),y(t)$ дифура справедливо равенство $(x(t),y(t))=(x(0),y(0))$. Просто убедиться в том, что $\frac{d}{dt}(x(t),y(t))=0$. Ну значит $e^{At}$ сохраняет скалярное произведение

-- 11.05.2020, 19:04 --

ну а вообще если учесть, что все указанные типы матриц диагонализируются над полем комплексных чисел

Теперь понятно, спасибо !