функциональный ряд, неравном. сходимость

[ShMaxG]

помогите пожалуйста, как доказать что ряд сходится неравномерно на интервале:

\[ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\sin nx}} {{e^{n^2 x} }}} , E = \left( {0; + \infty } \right) \]

[Brukvalub]

Проверяйте отрицание критерия Коши равномерной сходимости.

[ShMaxG]

не удается придумать последовательность

[Brukvalub]

ShMaxG писал(а):

не удается придумать последовательность

В критерии Коши речь идет о конечных суммах членов ряда, а не о последовательностях...

[ShMaxG]

отрицание условия:

\[ \exists \varepsilon _0 \geqslant 0{\text{ }}\exists n_0 \in N{\text{ }}\forall n \geqslant n_0 {\text{ }}\exists x_n \in E:{\text{ }}\left| {u_n (x_n )} \right| \geqslant \varepsilon _0 \]

для ряда

\[ \sum\limits_{n = 1}^\infty {u_n (x)} \]

Добавлено спустя 11 минут 8 секунд:

а, все решилось. последовательность подобрал, спасибо за наводку

[bot]

ShMaxG писал(а):

отрицание условия:

Странное отрицание однако. И что, в самом деле получилось?
Из этого более чем странного отрицания?

[ShMaxG]

Ну, на самом деле оно не странное, а следует как частный случай из другого, более общего. Источник: сборник задач Кудрявцева.

\[ \exists \varepsilon _0 > 0{\text{ }}\forall m \in N{\text{ }}\exists n \geqslant m{\text{ }}\exists p \in N{\text{ }}\exists x_n \in E:{\text{ }}\left| {\sum\limits_{k = n + 1}^{n + p} {u_k \left( {x_n } \right)} } \right| \geqslant \varepsilon _0 \]

Я взял

\[ x_n = \frac{1} {{n^2 }},p = n = m,\varepsilon _0 = \frac{1} {{e^4 }} \]

[Brukvalub]

Что-то странное Вы пишете. Так, как предлагаете Вы, получить отрицание критерия Коши в этой задаче не получится

[ShMaxG]

\[ \left| {\frac{{\sin \frac{{n + 1}} {{n^2 }}}} {{e^{\frac{{\left( {n + 1} \right)^2 }} {{n^2 }}} }} + ... + \frac{{\sin \frac{{2n}} {{n^2 }}}} {{e^{\frac{{4n^2 }} {{n^2 }}} }}} \right| \geqslant \frac{{n \cdot \sin \frac{{n + 1}} {{n^2 }}}} {{e^4 }} \to \frac{1} {{e^4 }} = \varepsilon _0 ,n \to \infty \]

может быть я что-то и путаю

[Brukvalub]

Нет, теперь - все хорошо! Я писал свой комментарий вот к этому вашему тексту:

ShMaxG писал(а):

отрицание условия:

\[ \exists \varepsilon _0 \geqslant 0{\text{ }}\exists n_0 \in N{\text{ }}\forall n \geqslant n_0 {\text{ }}\exists x_n \in E:{\text{ }}\left| {u_n (x_n )} \right| \geqslant \varepsilon _0 \] для ряда

\[ \sum\limits_{n = 1}^\infty {u_n (x)} \]

Здесь все было не так хорошо

[antbez]

А ряд $\sum \frac {1}{exp (n^2 x)}$ не является ли мажорантой?

[Henrylee]

antbez писал(а):

А ряд $\sum \frac {1}{exp (n^2 x)}$ не является ли мажорантой?

А он что, равномерно сходится на $(0,+\infty)$?

[antbez]

Он просто сходится там- этого недостаточно для признака Вейерштрасса?

[Brukvalub]

antbez писал(а):

Он просто сходится там- этого недостаточно для признака Вейерштрасса?

Приведите формулировку признака Вейерштрасса.

[antbez]

Да! Забыл, что мажоранта- числовый ряд!