2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неопределенный интеграл от рациональной функции на максиме
Сообщение11.05.2020, 11:26 
Аватара пользователя


07/01/15
1117
Якутск
Интеграл из старой темы, изначально помещенной в олимпиадный раздел, но перенесенной в карантин в силу рутинности. Вот он:
$\displaystyle \int\frac{2x}{\left(x^2+2x+2\right)\sqrt{x-1}}dx$
Решил я испытать на ней Maxima (у меня версия 19.05.7) и вот, собственно. Пара подстановок
Код:
e2: changevar(e1, y=x-2, y, x);

Код:
e3: changevar(e2, y+1=(y*u+1)^2, u, y);

преобразуют подынтентегральную функцию в рациональную функцию,
$$2\int\frac{4y^2-4y+2}{10y^4-12y^3+10y^2-4y+1}dy.$$
которую компьютер не может проинтегрировать и не может разложить на простейшие дроби. Если привлечь функцию gfactor, которая насильно вытаскивает комплексные корни и применить её к знаменателю,
Код:
partfrac(gfactor(p1),y)

то получается знаменатель с комплексными корнями:
$$\frac{10}{(10y^2-2iy-6y+3)(10y^2+2iy-6y-i+3)}$$
И вроде на этом тупик. А вот другой путь:
Интегрирование по частям
Код:
byparts(f, h, var):=block(
    [g],
    g: integrate(h, var),
    f*g-'integrate(g*diff(f,var), var)
)$
byparts(1/sqrt(x-1), 2*x/(x^2+2*x+2), x);

дает $$\int\frac{\ln{(x^2+2x+2)}/2-\operatorname{atan}(\frac{2x+2}2)}{(x-1)^{3/2}}dx+\frac{2(\frac{\ln{(x^2+2x+2)}}2-\operatorname{atan}(\frac{2x+2}2))}{\sqrt{x-1}}$$
интеграл на этом этапе на самом деле берется компьютером, но... приводит к результату под катом (скопировал в сыром виде)

(Оффтоп)

(sqrt(x\-1)*(\-2*sqrt(10)*integrate((sqrt(x\-1)*((x+1)*log(x^2+2*x+2)+2*atan(x+1)))/(4*x^4\-4*x^2\-8*x+8),x)+4*sqrt(10)*integrate((sqrt(x\-1)*(log(x^2+2*x+2)+(\-2*x\-2)*atan(x+1)))/(4*x^4\-4*x^2\-8*x+8),x)+2*sqrt(10)*integrate((sqrt(x\-1)*(log(x^2+2*x+2)+(\-2*x\-2)*atan(x+1)))/(4*x^3+4*x^2\-8),x)+4*sqrt(10)*integrate((sqrt(x\-1)*(x+1)*log(x^2+2*x+2))/(2*x^4\-2*x^2\-4*x+4),x)+2*sqrt(10)*integrate((sqrt(x\-1)*log(x^2+2*x+2))/(2*x^4\-2*x^2\-4*x+4),x)+2*sqrt(10)*integrate((sqrt(x\-1)*(x+1)*log(x^2+2*x+2))/(2*x^3+2*x^2\-4),x))+2*sqrt(sqrt(5)\-2)*sqrt(x\-1)*atan2((sqrt(sqrt(5)+2)*(sqrt(sqrt(5)\-2)*(2^(5/2)*x^2+(2^(5/2)*sqrt(5)\-2^(7/2))*x\-2^(5/2)*sqrt(5)+2^(5/2))+sqrt(x\-1)*(2*x^2+(8*sqrt(5)\-12)*x\-8*sqrt(5)+20)))/(sqrt(2)*x^3+sqrt(sqrt(5)\-2)*sqrt(x\-1)*(6*x^2+(16*sqrt(5)\-20)*x\-16*sqrt(5)+44)+(9*sqrt(2)*sqrt(5)\-15*sqrt(2))*x^2+(9*2^(7/2)\-3*2^(3/2)*5^(3/2))*x+13*2^(3/2)*sqrt(5)\-29*2^(3/2)),(2^(3/2)*x^3+sqrt(sqrt(5)\-2)*sqrt(x\-1)*(8*x^2\-16*x\-32)+(3*2^(3/2)*sqrt(5)\-7*2^(3/2))*x^2+(\-2^(5/2)*sqrt(5)\-2^(7/2))*x\-3*2^(5/2)*sqrt(5)+5*2^(5/2))/(2^(3/2)*x^3+sqrt(sqrt(5)\-2)*sqrt(x\-1)*(12*x^2+(32*sqrt(5)\-40)*x\-32*sqrt(5)+88)+(9*2^(3/2)*sqrt(5)\-15*2^(3/2))*x^2+(9*2^(9/2)\-3*2^(5/2)*5^(3/2))*x+13*2^(5/2)*sqrt(5)\-29*2^(5/2)))+sqrt(sqrt(5)+2)*sqrt(x\-1)*log((x^18+sqrt(sqrt(5)\-2)*sqrt(x\-1)*(2^(9/2)*x^17+(17*2^(9/2)*5^(3/2)\-153*2^(9/2))*x^16+(4165*2^(13/2)\-901*2^(15/2)*sqrt(5))*x^15+(77129*2^(13/2)*sqrt(5)\-171377*2^(13/2))*x^14+(963237*2^(17/2)\-860319*2^(15/2)*sqrt(5))*x^13+(2286687*2^(15/2)*5^(3/2)\-25556661*2^(15/2))*x^12+(106997167*2^(17/2)\-23922859*2^(19/2)*sqrt(5))*x^11+(261519347*2^(17/2)*sqrt(5)\-584757211*2^(17/2))*x^10+(1059598835*2^(19/2)\-94772521*2^(19/2)*5^(3/2))*x^9+(113887337*2^(21/2)*5^(3/2)\-636647975*2^(23/2))*x^8+(2027815503*2^(21/2)\-90686651*2^(23/2)*5^(3/2))*x^7+(208725583*2^(21/2)*5^(3/2)\-2333624419*2^(21/2))*x^6+(738246821*2^(25/2)\-660308349*2^(23/2)*sqrt(5))*x^5+(1168550733*2^(23/2)*sqrt(5)\-2612959179*2^(23/2))*x^4+(1923096293*2^(25/2)\-430017409*2^(27/2)*sqrt(5))*x^3+(155598893*2^(25/2)*5^(3/2)\-1739648505*2^(25/2))*x^2+(851875137*2^(25/2)\-190485071*2^(27/2)*sqrt(5))*x+77887943*2^(25/2)*sqrt(5)\-174162735*2^(25/2))+(256*sqrt(5)\-494)*x^17+(89250\-39168*sqrt(5))*x^16+(487424*5^(3/2)\-5432384)*x^15+(165381712\-73914368*sqrt(5))*x^14+(1278164992*sqrt(5)\-2857657568)*x^13+(30480327072\-13630742528*sqrt(5))*x^12+(94153326592*sqrt(5)\-210531390208)*x^11+(967623511904\-432733495296*sqrt(5))*x^10+(267581988864*5^(3/2)\-2991656704320)*x^9+(6227397189312\-111399084032*5^(5/2))*x^8+(3976511946752*sqrt(5)\-8891752926208)*x^7+(10267156532480\-4591612624896*sqrt(5))*x^6+(6565080989696*sqrt(5)\-14679967780352)*x^5+(25000979614208\-11180777930752*sqrt(5))*x^4+(14381496926208*sqrt(5)\-32158004613120)*x^3+(25559000142080\-2286066466816*5^(3/2))*x^2+(5006300086272*sqrt(5)\-11194427305472)*x\-185719128064*5^(3/2)+2076402975232)/(x^18+sqrt(sqrt(5)\-2)*sqrt(x\-1)*(9*2^(3/2)*x^17+(969*2^(3/2)*sqrt(5)\-1785*2^(3/2))*x^16+(15555*2^(11/2)\-6783*2^(11/2)*sqrt(5))*x^15+(95931*2^(15/2)*sqrt(5)\-427329*2^(13/2))*x^14+(26118647*2^(11/2)\-5836287*2^(13/2)*sqrt(5))*x^13+(217537593*2^(11/2)*sqrt(5)\-486366413*2^(11/2))*x^12+(1483360653*2^(15/2)\-132672573*2^(15/2)*5^(3/2))*x^11+(1387015941*2^(19/2)*sqrt(5)\-6202896199*2^(17/2))*x^10+(146758580575*2^(13/2)\-3281619333*2^(17/2)*5^(3/2))*x^9+(11208952179*2^(13/2)*5^(5/2)\-626599439235*2^(13/2))*x^8+(244289087793*2^(19/2)\-21849880641*2^(19/2)*5^(3/2))*x^7+(62486992857*2^(23/2)*sqrt(5)\-279450330795*2^(21/2))*x^6+(934214441283*2^(19/2)\-208896700437*2^(21/2)*sqrt(5))*x^5+(503064828761*2^(19/2)*sqrt(5)\-1124887154837*2^(19/2))*x^4+(237009407207*2^(23/2)\-105993829139*2^(23/2)*sqrt(5))*x^3+(14807985807*2^(27/2)*sqrt(5)\-66223325733*2^(25/2))*x^2+(176094133793*2^(19/2)\-9843961339*2^(25/2)*sqrt(5))*x+11771259401*2^(19/2)*sqrt(5)\-26321336201*2^(19/2))+(324*sqrt(5)\-630)*x^17+(145962\-12852*5^(3/2))*x^16+(1047744*5^(3/2)\-11688384)*x^15+(476921808\-213211008*sqrt(5))*x^14+(5072167872*sqrt(5)\-11341030752)*x^13+(171779650848\-76821396288*sqrt(5))*x^12+(784190714112*sqrt(5)\-1753500794112)*x^11+(12536670667104\-5606568387072*sqrt(5))*x^10+(1152848000896*5^(5/2)\-64446162369600)*x^9+(242326743348672\-21674363082624*5^(3/2))*x^8+(300934767449088*sqrt(5)\-672910599951360)*x^7+(1383317717685504\-123727698167808*5^(3/2))*x^6+(936462764141568*sqrt(5)\-2093994398799360)*x^5+(2298988168929792\-1028138764833792*sqrt(5))*x^4+(794809780482048*sqrt(5)\-1777248698167296)*x^3+(915838829736192\-409575575937024*sqrt(5))*x^2+(126132883596288*sqrt(5)\-282041701922304)*x\-17542413730816*sqrt(5)+39226029591040))+2*sqrt(10)*atan(x+1))/(2*sqrt(10)*sqrt(x\-1))

Я так понимаю, это и есть искомая первообразная $-$ проверить это, с помощью дифференцирования обратно в изначальное выражение не удалось - процессор не справляется такое выражение дифференцировать. Можно ли в этом случае надеяться получить что-нибудь более обозримое с помощью мат. пакетов?
P. S. Конечно, можно вручную, с помощью метода Остроградского, посчитать первообразную, приблизив комплексные корни, но это будет неточно, с погрешностью, да и меня сейчас интересует сугубо программный аспект.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интеграл от рациональной функции на максиме
Сообщение11.05.2020, 11:48 
Заслуженный участник


25/02/11
1746
Математика дает
$$
2 \left(\frac{(1+i) \arctg\left(\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{2-i}}\right)}{\sqrt{2-i}}+\frac{(1-i) \arctg\left(\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{2+i}}\right)}{\sqrt{2+i}}\right)
$$
Дифференцирование подтверждает. М-ка также позволяет избавиться здесь от тангенсов комплексных чисел, но выражение получается очень длинным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интеграл от рациональной функции на максиме
Сообщение11.05.2020, 12:20 
Заслуженный участник


20/12/10
8275
SomePupil в сообщении #1461813 писал(а):
преобразуют подынтентегральную функцию в рациональную функцию,
$$2\int\frac{4y^2-4y+2}{10y^4-12y^3+10y^2-4y+1}dy.$$
которую компьютер не может проинтегрировать и не может разложить на простейшие дроби
Maple все это делает. Ответ дается в виде суммы комплексных логарифмов (как и должно быть в теории). Разбив корни знаменателя на пары комплексно-сопряженных, можно уже в полу-ручном режиме эти логарифмы сделать вещественными или превратить в (вещественные же) арктангенсы. Так что ответ в вещественном виде получить вполне можно, и он будет не слишком сложным (сумма двух вещественных логарифмов и двух вещественных арктангенсов).

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интеграл от рациональной функции на максиме
Сообщение11.05.2020, 13:23 


11/07/16
686
Если наложить естественное условие неотрицательности подкоренного выражения, то Мэйпл 2019.1 без никаких замен выдает вещественно-значный ответ (результат Математики короче, но содержит комплексные числа)
Код:
int(2*x/((x^2 + 2*x + 2)*sqrt(x - 1)), x) assuming (1 < x);
-(3*ln(x - 1 + sqrt(x - 1)*sqrt(2*sqrt(5) - 4) + sqrt(5))*sqrt(2*sqrt(5) - 4)*sqrt(5))/10 - ln(x - 1 + sqrt(x - 1)*sqrt(2*sqrt(5) - 4) + sqrt(5))*sqrt(2*sqrt(5) - 4)/2 + (3*arctan((2*sqrt(x - 1) + sqrt(2*sqrt(5) - 4))/sqrt(2*sqrt(5) + 4))*(2*sqrt(5) - 4)*sqrt(5))/(5*sqrt(2*sqrt(5) + 4)) + arctan((2*sqrt(x - 1) + sqrt(2*sqrt(5) - 4))/sqrt(2*sqrt(5) + 4))*(2*sqrt(5) - 4)/sqrt(2*sqrt(5) + 4) + (4*arctan((2*sqrt(x - 1) + sqrt(2*sqrt(5) - 4))/sqrt(2*sqrt(5) + 4))*sqrt(5))/(5*sqrt(2*sqrt(5) + 4)) + (3*ln(x - 1 - sqrt(x - 1)*sqrt(2*sqrt(5) - 4) + sqrt(5))*sqrt(2*sqrt(5) - 4)*sqrt(5))/10 + ln(x - 1 - sqrt(x - 1)*sqrt(2*sqrt(5) - 4) + sqrt(5))*sqrt(2*sqrt(5) - 4)/2 + (3*arctan((2*sqrt(x - 1) - sqrt(2*sqrt(5) - 4))/sqrt(2*sqrt(5) + 4))*(2*sqrt(5) - 4)*sqrt(5))/(5*sqrt(2*sqrt(5) + 4)) + arctan((2*sqrt(x - 1) - sqrt(2*sqrt(5) - 4))/sqrt(2*sqrt(5) + 4))*(2*sqrt(5) - 4)/sqrt(2*sqrt(5) + 4) + (4*arctan((2*sqrt(x - 1) - sqrt(2*sqrt(5) - 4))/sqrt(2*sqrt(5) + 4))*sqrt(5))/(5*sqrt(2*sqrt(5) + 4))

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: maxal, Toucan, PAV, Karan, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group