Неопределенный интеграл от рациональной функции на максиме

[SomePupil]

Интеграл из старой темы, изначально помещенной в олимпиадный раздел, но перенесенной в карантин в силу рутинности. Вот он:
$\displaystyle \int\frac{2x}{\left(x^2+2x+2\right)\sqrt{x-1}}dx$
Решил я испытать на ней Maxima (у меня версия 19.05.7) и вот, собственно. Пара подстановок

e2: changevar(e1, y=x-2, y, x);

e3: changevar(e2, y+1=(y*u+1)^2, u, y);

преобразуют подынтентегральную функцию в рациональную функцию,

$$2\int\frac{4y^2-4y+2}{10y^4-12y^3+10y^2-4y+1}dy.$$

которую компьютер не может проинтегрировать и не может разложить на простейшие дроби. Если привлечь функцию gfactor, которая насильно вытаскивает комплексные корни и применить её к знаменателю,

partfrac(gfactor(p1),y)

то получается знаменатель с комплексными корнями:

$$\frac{10}{(10y^2-2iy-6y+3)(10y^2+2iy-6y-i+3)}$$

И вроде на этом тупик. А вот другой путь:
Интегрирование по частям

byparts(f, h, var):=block(
    [g],
    g: integrate(h, var),
    f*g-'integrate(g*diff(f,var), var)
)$
byparts(1/sqrt(x-1), 2*x/(x^2+2*x+2), x);

дает

$$\int\frac{\ln{(x^2+2x+2)}/2-\operatorname{atan}(\frac{2x+2}2)}{(x-1)^{3/2}}dx+\frac{2(\frac{\ln{(x^2+2x+2)}}2-\operatorname{atan}(\frac{2x+2}2))}{\sqrt{x-1}}$$

интеграл на этом этапе на самом деле берется компьютером, но... приводит к результату под катом (скопировал в сыром виде)

(Оффтоп)

(sqrt(x\-1)*(\-2*sqrt(10)*integrate((sqrt(x\-1)*((x+1)*log(x^2+2*x+2)+2*atan(x+1)))/(4*x^4\-4*x^2\-8*x+8),x)+4*sqrt(10)*integrate((sqrt(x\-1)*(log(x^2+2*x+2)+(\-2*x\-2)*atan(x+1)))/(4*x^4\-4*x^2\-8*x+8),x)+2*sqrt(10)*integrate((sqrt(x\-1)*(log(x^2+2*x+2)+(\-2*x\-2)*atan(x+1)))/(4*x^3+4*x^2\-8),x)+4*sqrt(10)*integrate((sqrt(x\-1)*(x+1)*log(x^2+2*x+2))/(2*x^4\-2*x^2\-4*x+4),x)+2*sqrt(10)*integrate((sqrt(x\-1)*log(x^2+2*x+2))/(2*x^4\-2*x^2\-4*x+4),x)+2*sqrt(10)*integrate((sqrt(x\-1)*(x+1)*log(x^2+2*x+2))/(2*x^3+2*x^2\-4),x))+2*sqrt(sqrt(5)\-2)*sqrt(x\-1)*atan2((sqrt(sqrt(5)+2)*(sqrt(sqrt(5)\-2)*(2^(5/2)*x^2+(2^(5/2)*sqrt(5)\-2^(7/2))*x\-2^(5/2)*sqrt(5)+2^(5/2))+sqrt(x\-1)*(2*x^2+(8*sqrt(5)\-12)*x\-8*sqrt(5)+20)))/(sqrt(2)*x^3+sqrt(sqrt(5)\-2)*sqrt(x\-1)*(6*x^2+(16*sqrt(5)\-20)*x\-16*sqrt(5)+44)+(9*sqrt(2)*sqrt(5)\-15*sqrt(2))*x^2+(9*2^(7/2)\-3*2^(3/2)*5^(3/2))*x+13*2^(3/2)*sqrt(5)\-29*2^(3/2)),(2^(3/2)*x^3+sqrt(sqrt(5)\-2)*sqrt(x\-1)*(8*x^2\-16*x\-32)+(3*2^(3/2)*sqrt(5)\-7*2^(3/2))*x^2+(\-2^(5/2)*sqrt(5)\-2^(7/2))*x\-3*2^(5/2)*sqrt(5)+5*2^(5/2))/(2^(3/2)*x^3+sqrt(sqrt(5)\-2)*sqrt(x\-1)*(12*x^2+(32*sqrt(5)\-40)*x\-32*sqrt(5)+88)+(9*2^(3/2)*sqrt(5)\-15*2^(3/2))*x^2+(9*2^(9/2)\-3*2^(5/2)*5^(3/2))*x+13*2^(5/2)*sqrt(5)\-29*2^(5/2)))+sqrt(sqrt(5)+2)*sqrt(x\-1)*log((x^18+sqrt(sqrt(5)\-2)*sqrt(x\-1)*(2^(9/2)*x^17+(17*2^(9/2)*5^(3/2)\-153*2^(9/2))*x^16+(4165*2^(13/2)\-901*2^(15/2)*sqrt(5))*x^15+(77129*2^(13/2)*sqrt(5)\-171377*2^(13/2))*x^14+(963237*2^(17/2)\-860319*2^(15/2)*sqrt(5))*x^13+(2286687*2^(15/2)*5^(3/2)\-25556661*2^(15/2))*x^12+(106997167*2^(17/2)\-23922859*2^(19/2)*sqrt(5))*x^11+(261519347*2^(17/2)*sqrt(5)\-584757211*2^(17/2))*x^10+(1059598835*2^(19/2)\-94772521*2^(19/2)*5^(3/2))*x^9+(113887337*2^(21/2)*5^(3/2)\-636647975*2^(23/2))*x^8+(2027815503*2^(21/2)\-90686651*2^(23/2)*5^(3/2))*x^7+(208725583*2^(21/2)*5^(3/2)\-2333624419*2^(21/2))*x^6+(738246821*2^(25/2)\-660308349*2^(23/2)*sqrt(5))*x^5+(1168550733*2^(23/2)*sqrt(5)\-2612959179*2^(23/2))*x^4+(1923096293*2^(25/2)\-430017409*2^(27/2)*sqrt(5))*x^3+(155598893*2^(25/2)*5^(3/2)\-1739648505*2^(25/2))*x^2+(851875137*2^(25/2)\-190485071*2^(27/2)*sqrt(5))*x+77887943*2^(25/2)*sqrt(5)\-174162735*2^(25/2))+(256*sqrt(5)\-494)*x^17+(89250\-39168*sqrt(5))*x^16+(487424*5^(3/2)\-5432384)*x^15+(165381712\-73914368*sqrt(5))*x^14+(1278164992*sqrt(5)\-2857657568)*x^13+(30480327072\-13630742528*sqrt(5))*x^12+(94153326592*sqrt(5)\-210531390208)*x^11+(967623511904\-432733495296*sqrt(5))*x^10+(267581988864*5^(3/2)\-2991656704320)*x^9+(6227397189312\-111399084032*5^(5/2))*x^8+(3976511946752*sqrt(5)\-8891752926208)*x^7+(10267156532480\-4591612624896*sqrt(5))*x^6+(6565080989696*sqrt(5)\-14679967780352)*x^5+(25000979614208\-11180777930752*sqrt(5))*x^4+(14381496926208*sqrt(5)\-32158004613120)*x^3+(25559000142080\-2286066466816*5^(3/2))*x^2+(5006300086272*sqrt(5)\-11194427305472)*x\-185719128064*5^(3/2)[phone])/(x^18+sqrt(sqrt(5)\-2)*sqrt(x\-1)*(9*2^(3/2)*x^17+(969*2^(3/2)*sqrt(5)\-1785*2^(3/2))*x^16+(15555*2^(11/2)\-6783*2^(11/2)*sqrt(5))*x^15+(95931*2^(15/2)*sqrt(5)\-427329*2^(13/2))*x^14+(26118647*2^(11/2)\-5836287*2^(13/2)*sqrt(5))*x^13+(217537593*2^(11/2)*sqrt(5)\-486366413*2^(11/2))*x^12+(1483360653*2^(15/2)\-132672573*2^(15/2)*5^(3/2))*x^11+(1387015941*2^(19/2)*sqrt(5)\-6202896199*2^(17/2))*x^10+(146758580575*2^(13/2)\-3281619333*2^(17/2)*5^(3/2))*x^9+(11208952179*2^(13/2)*5^(5/2)\-626599439235*2^(13/2))*x^8+(244289087793*2^(19/2)\-21849880641*2^(19/2)*5^(3/2))*x^7+(62486992857*2^(23/2)*sqrt(5)\-279450330795*2^(21/2))*x^6+(934214441283*2^(19/2)\-208896700437*2^(21/2)*sqrt(5))*x^5+(503064828761*2^(19/2)*sqrt(5)\-1124887154837*2^(19/2))*x^4+(237009407207*2^(23/2)\-105993829139*2^(23/2)*sqrt(5))*x^3+(14807985807*2^(27/2)*sqrt(5)\-66223325733*2^(25/2))*x^2+(176094133793*2^(19/2)\-9843961339*2^(25/2)*sqrt(5))*x+11771259401*2^(19/2)*sqrt(5)\-26321336201*2^(19/2))+(324*sqrt(5)\-630)*x^17+(145962\-12852*5^(3/2))*x^16+(1047744*5^(3/2)\-11688384)*x^15+(476921808\-213211008*sqrt(5))*x^14+(5072167872*sqrt(5)\-11341030752)*x^13+(171779650848\-76821396288*sqrt(5))*x^12+(784190714112*sqrt(5)\-1753500794112)*x^11+(12536670667104\-5606568387072*sqrt(5))*x^10+(1152848000896*5^(5/2)\-64446162369600)*x^9+(242326743348672\-21674363082624*5^(3/2))*x^8+(300934767449088*sqrt(5)\-672910599951360)*x^7+(1383317717685504\-123727698167808*5^(3/2))*x^6+(936462764141568*sqrt(5)\-2093994398799360)*x^5+(2298988168929792\-1028138764833792*sqrt(5))*x^4+(794809780482048*sqrt(5)\-1777248698167296)*x^3+(915838829736192\-409575575937024*sqrt(5))*x^2+(126132883596288*sqrt(5)\-282041701922304)*x\-17542413730816*sqrt(5)[phone]))+2*sqrt(10)*atan(x+1))/(2*sqrt(10)*sqrt(x\-1))

Я так понимаю, это и есть искомая первообразная $-$ проверить это, с помощью дифференцирования обратно в изначальное выражение не удалось - процессор не справляется такое выражение дифференцировать. Можно ли в этом случае надеяться получить что-нибудь более обозримое с помощью мат. пакетов?
P. S. Конечно, можно вручную, с помощью метода Остроградского, посчитать первообразную, приблизив комплексные корни, но это будет неточно, с погрешностью, да и меня сейчас интересует сугубо программный аспект.

[Vince Diesel]

Математика дает

$$ 2 \left(\frac{(1+i) \arctg\left(\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{2-i}}\right)}{\sqrt{2-i}}+\frac{(1-i) \arctg\left(\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{2+i}}\right)}{\sqrt{2+i}}\right) $$

Дифференцирование подтверждает. М-ка также позволяет избавиться здесь от тангенсов комплексных чисел, но выражение получается очень длинным.

[nnosipov]

SomePupil в сообщении #1461813 писал(а):

преобразуют подынтентегральную функцию в рациональную функцию,

$$2\int\frac{4y^2-4y+2}{10y^4-12y^3+10y^2-4y+1}dy.$$

которую компьютер не может проинтегрировать и не может разложить на простейшие дроби

Maple все это делает. Ответ дается в виде суммы комплексных логарифмов (как и должно быть в теории). Разбив корни знаменателя на пары комплексно-сопряженных, можно уже в полу-ручном режиме эти логарифмы сделать вещественными или превратить в (вещественные же) арктангенсы. Так что ответ в вещественном виде получить вполне можно, и он будет не слишком сложным (сумма двух вещественных логарифмов и двух вещественных арктангенсов).

[Markiyan Hirnyk]

Если наложить естественное условие неотрицательности подкоренного выражения, то Мэйпл 2019.1 без никаких замен выдает вещественно-значный ответ (результат Математики короче, но содержит комплексные числа)

int(2*x/((x^2 + 2*x + 2)*sqrt(x - 1)), x) assuming (1 < x);
-(3*ln(x - 1 + sqrt(x - 1)*sqrt(2*sqrt(5) - 4) + sqrt(5))*sqrt(2*sqrt(5) - 4)*sqrt(5))/10 - ln(x - 1 + sqrt(x - 1)*sqrt(2*sqrt(5) - 4) + sqrt(5))*sqrt(2*sqrt(5) - 4)/2 + (3*arctan((2*sqrt(x - 1) + sqrt(2*sqrt(5) - 4))/sqrt(2*sqrt(5) + 4))*(2*sqrt(5) - 4)*sqrt(5))/(5*sqrt(2*sqrt(5) + 4)) + arctan((2*sqrt(x - 1) + sqrt(2*sqrt(5) - 4))/sqrt(2*sqrt(5) + 4))*(2*sqrt(5) - 4)/sqrt(2*sqrt(5) + 4) + (4*arctan((2*sqrt(x - 1) + sqrt(2*sqrt(5) - 4))/sqrt(2*sqrt(5) + 4))*sqrt(5))/(5*sqrt(2*sqrt(5) + 4)) + (3*ln(x - 1 - sqrt(x - 1)*sqrt(2*sqrt(5) - 4) + sqrt(5))*sqrt(2*sqrt(5) - 4)*sqrt(5))/10 + ln(x - 1 - sqrt(x - 1)*sqrt(2*sqrt(5) - 4) + sqrt(5))*sqrt(2*sqrt(5) - 4)/2 + (3*arctan((2*sqrt(x - 1) - sqrt(2*sqrt(5) - 4))/sqrt(2*sqrt(5) + 4))*(2*sqrt(5) - 4)*sqrt(5))/(5*sqrt(2*sqrt(5) + 4)) + arctan((2*sqrt(x - 1) - sqrt(2*sqrt(5) - 4))/sqrt(2*sqrt(5) + 4))*(2*sqrt(5) - 4)/sqrt(2*sqrt(5) + 4) + (4*arctan((2*sqrt(x - 1) - sqrt(2*sqrt(5) - 4))/sqrt(2*sqrt(5) + 4))*sqrt(5))/(5*sqrt(2*sqrt(5) + 4))