вычеты

[laammer]

помогите решить

найти вычеты f(z)=1/(7z^2+3z+7)

[Профессор Снэйп]

По какому модулю вычеты искать?

[laammer]

а чето в задании про это не написано

[Профессор Снэйп]

А, понял! Это задача по ТФКП, а не по теории чисел.

[laammer]

да, по ТФКП

[Henrylee]

Ищем нули знаменателя. Они будут особыми точками, причем полюсами 1-го порядка. Ну и дальше понятно.. Плюс вычет в беск. удаленной точке вроде как надо..

[laammer]

после того как я нашел нули a1, a2 надо для них вычислить такие пределы?

\mathop{\mathrm{Res}}_a\,f(z)={1\over(n-1)!}\lim_{z\to a}{[(z-a)^n f(z)]^{(n-1)}}

[Henrylee]

Да.

[laammer]

и тогда получаетса 2 вычета?

$ -\frac {7i} {\sqrt{187}} $

$ \frac {7i} {\sqrt{187}} $

[Henrylee]

Вычисления не проверял, но да, два. А третий в бесконечно удаленной точке. Нетрудно доказать, что он равен нулю.

[ewert]

laammer писал(а):

после того как я нашел нули a1, a2 надо для них вычислить такие пределы?

\mathop{\mathrm{Res}}_a\,f(z)={1\over(n-1)!}\lim_{z\to a}{[(z-a)^n f(z)]^{(n-1)}}

Между прочим -- нет, не надо. Вы вроде уже разобрались в ситуации, но в этом вопросе желательно всё же сознательное отношение к делу. Прежде чем применять общие формулы, стоит подумать, какой частный случай мы имеем. Конкретно здесь -- какие кратности корней в знаменателе. И только если корни не простые, требуются изощрения.

Ну а тут -- заведомо простые, и.

[Henrylee]

ewert писал(а):

но в этом вопросе желательно всё же сознательное отношение к делу.

Сознательное отношение это уж не разложение ли в ряд Лорана

[Brukvalub]

ewert писал(а):

Между прочим -- нет, не надо.

Такая грамматическая конструкция может быть понята вопрошающим как указание на то, что ему подсказали неверный метод! Между тем, Henrylee указал лишь на то, что данный метод применим к решению данной задачи. Другой вопрос, что есть и иные подходы к вычислению вычетов, но их наличие не отменяет рассмотренного laammer подхода.
А вот наталкивание вопрошающего на матричный подход при изучении операторов в банаховых пространствах является заведомо ложной подсказкой, которая может увести обучаемого очень далеко от правильных идей. Еще большее недоумение может вызвать у учащихся полное отрицание наличия в математике понятия о-малое.
Мне кажется, что к нашей деятельности здесь в полной мере применим тезис а-ля-Экзюпери: "Мы в ответе за тех, кого обучаем, и за то, как их обучаем"

[ewert]

Henrylee писал(а):

ewert писал(а):

но в этом вопросе желательно всё же сознательное отношение к делу.

Сознательное отношение это уж не разложение ли в ряд Лорана

Нет. Ряд Лорана должен, конечно, сидеть в подсознании, но тут ситуация гораздо примитивнее. Для подсчёта вычета нужно в любом случае оценить порядок полюса. Не обязательно точно найти, но -- хоть оценить. И только после этого приплетать какие-то формулы. Ну а тут самая что ни на есть вульгарная оценка даёт первый порядок и, соотв., одну из двух примитивных формул.

[Henrylee]

ewert писал(а):

Для подсчёта вычета нужно в любом случае оценить порядок полюса. Не обязательно точно найти, но -- хоть оценить. И только после этого приплетать какие-то формулы. Ну а тут самая что ни на есть вульгарная оценка даёт первый порядок и, соотв., одну из двух примитивных формул.

Ну так это вполне очевидный ход рассуждений. Не понимаю только зачем вытаскивать наружу внутренние стратегиии мышления при решении данной задачи. Ладно бы это сильно облегчило решение, но в данном случае эта стратегия опять же приводит к указанной формуле, точнее, к ее частному случаю. Обе стратегии по сути есть одна и та же. Просто описали Вы ее по-другому. Ну и зачем это? До осознания примитивности задачи решающий вполне способен дойти самостоятельно, без посторонней помощи.

Добавлено спустя 14 минут 52 секунды:

Я что хочу этим сказать. Я считаю, что лучше придерживаться стратегии обучения, при которой учащийся сначала поучает общую формулу с ее полным обоснованием, а затем, самостоятельно прорабатывая частные случаи, начинает эту формулу чувствовать и впоследствии, будьте уверены, у него вырабатывается короткая, экономичная стратегия решения, своя (в смысле деталей, элементов мышления). Вы же предлагает, как я понял, обучать сразу "по-быстрому" решать частные случаи, навязывая при этом, свои личные сратегии мышления. В результате у обучающегося может возникнуть ложное представление о том, что Ваша стратегия решения и общая формула никак не связаны.