Предсказуемые случайные процессы

[ASFK]

Предсказуемая сигма-алгебра - это сигма-алгебра, порождённая всеми непрерывными слева случайными процессами (имеются в виду вещественные случайные процессы, с параметрическим множеством [0;беск)).
(Есть и альтернативные определения, не суть).
Вопрос такой: является ли процесс броуновского движения и пуассоновский процесс предсказуемыми (т. е. измеримыми относительно этой сигма-алгебры)?
Если б эти процессы были непрерывны - то очевидно являлись бы. Но они лишь п. в. непрерывны, так что затрудняюсь ответить...

[PAV]

ИМХО тут следует воспользоваться тем, что обычно сигма-алгебры предполагаются пополненными, т.е. все события меры нуль объявляются измеримыми. Без этого предположения ответ, думаю, отрицательный, так как любой процесс можно "испортить" в одной точке, изменив ее значение с вероятностью 0, в результате чего все равно получится эквивалентный процесс, но уже формально не предсказуемый.

[ASFK]

PAV писал(а):

ИМХО тут следует воспользоваться тем, что обычно сигма-алгебры предполагаются пополненными, т.е. все события меры нуль объявляются измеримыми. Без этого предположения ответ, думаю, отрицательный, так как любой процесс можно "испортить" в одной точке, изменив ее значение с вероятностью 0, в результате чего все равно получится эквивалентный процесс, но уже формально не предсказуемый.

Ну допустим можно сделать предположение, что исходное вероятностное пространство полно. Но будет ли отсюда следовать, что предсказуемая сигма-алгебра тоже будет содержать все множества нулевой меры?
Или вы имеете в виду, что помимо полноты вероятностного пространства, нужно и понятие предсказуемой сигма-алгебры немного изменить, а именно сказать, что это пополнение сигма-алгебры, порождённой всеми непрерывными слева случайными процессами?
Если первое - то ещё, думаю, можно посчитать, что да, исходное пространство полно (и если отсюда всё следует - то всё хорошо)... А вот второе - не знаю даже, есть строгое определение предсказуемой сигма-алгебры - именно как сигма-алгебра, порождённая всеми непрерывными слева случайными процессами ни слова не говорится, что к ней добавляются все множества нулевой меры...

[PAV]

Мне кажется, что обычно полными по умолчанию считаются все используемые сигма-алгебры.

А иначе контрпример можно построить. Возьмите некоторое событие нулевой меры, которое не содержится в сигма-алгебре, порожденной значениями процесса до момента t. Измените значение процесса в момент t, если это событие произошло. Такое изменение даст процесс, эквивалентный исходному, но не являющийся предсказуемым. Вроде как так выходит?

[ASFK]

Если честно, о том, что сигма-алгебры подразумеваются пополненными, не знал
Про вероятностное пространство - да, часто оно подразумевается полным (хотя опять же не всегда, но довольно часто оговаривается). Но даже если вероятностное пространство полно, то какие-то сигма-подалгебры естественно могут не быть полными.
Например сигма-алгебра, порождённая вещественной случайной величиной - это полный прообраз этого отображения борелевской сигма-алгебры на прямой. Ни слова не говорится о том, что в этот проообраз добавляются все множества нулевой меры (ни в одной книге не видел).
Соответственно, то же самое и с сигма-алгебрами, порождёнными всеми непрерывными слева случайными процессами.
Вот насчёт изменения значения в одной точке или на множестве нулевой меры - там может получиться так, что какая-то функция перестанет быть случайной величиной (если исходное пространство неполно). С другой стороны, если оно всё-таки полно, то может быть даже и не требуется никаких пополнений предсказуемой сигма-алгебр, может там автоматически будут содержаться все множества нулевой меры?

Добавлено спустя 3 минуты 38 секунд:

Кстати, ещё вопрос к тем, кто в курсе.
Если процесс непрерывен справа (а не слева), то измерим ли он относительно сигма-алгебры предсказуемых множеств? С одной стороны, казалось бы, нет никакого принципиального отличия непрерывных справа и слева процессов (т. е. та же сигма-алгебра должна порождаться и всеми непрерывными справа процессами).
Но сейчас у меня зародились сомнения, когда почитал Булинского, Ширяева: либо я что-то не понял, либо всеми непрерывными справа случайными процессами порождается более богатая сигма-алгебра, чем непрерывными слева...

Добавлено спустя 27 минут 52 секунды:

Да, сейчас специально посмотрел.
Всеми непрерывными слева случайными процессами порождается предсказуемая сигма-алгебра, всеми непрерывными справа - опциональная. При этом опциональная сигма-алгебра содержит предсказуемую (и не совпадает с ней).
Так что с пуассоновским процессом вообще остаётся открыт вопрос (так как он непрерывен справа, а не слева, даже если пространство полно и все сигма-алгебры пополнены)

[Henrylee]

ASFK писал(а):

Например сигма-алгебра, порождённая вещественной случайной величиной - это полный прообраз этого отображения борелевской сигма-алгебры на прямой. Ни слова не говорится о том, что в этот проообраз добавляются все множества нулевой меры (ни в одной книге не видел).

Про расширенную $\sigma$-алгебру есть в той же книге Булинского и Ширяева. (в первой главе, кажется)
Под множествами нулевой меры (которыми пополняется $\sigma$-алгебра) в данном случае имеются в виду все неизмеримые множества, являющиеся подмножествами измеримых множеств нулевой меры.
Кстати, может чего упустил, но в процессе прочтения постов мне показалось, что о предсказуемой $\sigma$-алгебре здесь говорили как о заданной в $\Omega$, а ведь она задана в $[0,\infty)\times\Omega$.

[ASFK]

Henrylee писал(а):

ASFK писал(а):

Например сигма-алгебра, порождённая вещественной случайной величиной - это полный прообраз этого отображения борелевской сигма-алгебры на прямой. Ни слова не говорится о том, что в этот проообраз добавляются все множества нулевой меры (ни в одной книге не видел).

Про расширенную $\sigma$-алгебру есть в той же книге Булинского и Ширяева. (в первой главе, кажется)
Под множествами нулевой меры (которыми пополняется $\sigma$-алгебра) в данном случае имеются в виду все неизмеримые множества, являющиеся подмножествами измеримых множеств нулевой меры.
Кстати, может чего упустил, но в процессе прочтения постов мне показалось, что о предсказуемой $\sigma$-алгебре здесь говорили как о заданной в $\Omega$, а ведь она задана в $[0,\infty)\times\Omega$.

Предсказуемая сигма-албегра - это естественно система подмножеств $[0,\infty)\times\Omega$, да.
В общем, пусть даже пространство полно и сигма-алгебры расширены, тогда вопрос с винеровским процессом решён, он предсказуемый (так как п. в. непрерывен слева). Но с пуассоновским - вопрос открыт, так как он непрерывен справа (а непрерывные справа процессы, оказывается, порождают более богатую сигма-алгебру; что лично для меня странно, конечно, но так написано ).

[Henrylee]

Хм.. Давайте порассуждаем.
Пусть $X(t,\omega)$ произвольный процесс с непрерывными справа траекториями (для всех $\omega$ сначала). Рассмотрим последовательность непрерывных слева функций

$$ y_n(t)=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{k}n{\b 1}\left\{\frac{k-1}n<t\leqslant\frac{k}n\right\} $$

Понятно, что $y_n(t)\rightrightarrows t$, $n\to\infty$ (равномерно) на полуоси, так как

$$ \left|y_n(t)-t\right|\leqslant\frac1n, $$

кроме того, $y_n(t)\geqslant t$.
Тогда каждый процесс

$$ X_n(t,\omega):=X(y_n(t),\omega) $$

предсказуем, и для любых $t,\omega$

$$ X_n(t,\omega)\to X(t,\omega), $$

то есть процесс $X(t,\omega)$.... предсказуем.
Вопрос: где ошибка?