RС-интегратор

[eugrita]

Читая например, учебник ТОЭ Бессонова или Хоровица Искусство схемотехники встречаешься с утверждением что RС-интегратор тем точнее интегрирует чем больше его постоянная времени$ \tau=RC
У Бессонова еще определеннее “интегрирование импульсного сигнала может производиться при постоянной превышающей время импульса” $ \tau>>t_{imp}
При этом у обоих схема интегратора имеет вид простой RC-цепочки (схема слева рис)
На том же рис справа изображена похожая схема с добавлением усилителя К.
Выше- графики расчета напряжений на выходе при ряде значений $ \tau
Понятно что чем больше $ \tau тем менее изогнут график. (что соответствует кривой заряда конденсатора. Но на левом графике (обычная RC-цепь) в конце импульса накапливаются большие отклонения от $U_o (что и понятно – недозаряд конденсатора).
Чтобы исправить схему надо добавить усилитель с коэфф К выбранным так чтобы было $U(T)=U_o. Коэфф-т К надо настраивать в зависимости от периода импульса.
Если на вход обоих схем подать последовательность прямоугольных импульсов
$ U(t)=U_0, 2nT<t<(2n+1)T и $ U(t)=-U_0, (2n-1)T<t<2nT то после каждого полупериода ошибка будет накапливаться в 1 схеме и отсутствовать во 2-й
ВОПРОС: что имели ввиду авторы говоря о точности интегрирования RС-цепью?

[EUgeneUS]

Странный какой-то вопрос.
Сначала Вы приводите общеизвестные сведения об RC-цепочке. Потом какую-то отсебятину с усилителем с хитрым коэффициентом усиления. А потом задаете вопрос "что имели в виду авторы?".

eugrita в сообщении #1460344 писал(а):

Но на левом графике (обычная RC-цепь) в конце импульса накапливаются большие отклонения от $U_o (что и понятно – недозаряд конденсатора).

Во-первых, Вы забыли упомянуть, что на вход подаете "ступеньку".
Во-вторых, приведите необходимое условие, чтобы RC-цепочка являлась интегрирующей.

eugrita в сообщении #1460344 писал(а):

ВОПРОС: что имели ввиду авторы говоря о точности интегрирования RС-цепью?

А авторы имели в виду ровно то, что у них написано.
$U_{out} = \frac{1}{RC}\int\limits_{0}^{t_1} U_{in} dt + \text{что-то}$
Вот это "что-то" тем меньше (по сравнению с первым слагаемом в левой части), чем больше $\tau = RC$

[eugrita]

Да, смысл утверждений таков: чтобы интегрировать импульс с достаточной точностью, постоянная интегрирования в несколько раз должна быть больше длины импульса или времени интегрирования T. В случае ступеньки получим для относительной погрешности $ \delta <10% $ надо $ \tau >2.3 \cdot T $. для $ \delta <5% $ $ \tau >3 \cdot T $.
Раз уж затронул этот вопрос, провел моделирование На рис2 внизу в Симулинк проведено сравнительное интегрирование 2х сигналов -единичного 1(t) и ступенчатого +-1 c шириной периода (пары ступеней)=1. На обоих графиках есть точное интегрирование (желтые) Видно особенно когда $ \frac {\tau}{T}=1 $. заметное расхождение голубых линий от желтых. В 2 случае идет убывающий тренд.
Правило видно одно - надо интегрировать RC-цепочкой - обеспечь условие
$ \tau >3 \cdot T $ Технические средства позволят.
Если например на самолете находящемся в полете 10 час. стоит интегрирующая цепь, например, по скорости считающая путь, т.е $ T=36000 c$ то
$ \tau =R \cdot C=108000 $ Нет ли ошибки в размерности?
Наверняка есть более совершенные схемы аналогового интегрирования. Например, если входной сигнал ток а выходной напряжение достаточно 1 конденсатора.

[profrotter]

eugrita в сообщении #1460781 писал(а):

достаточно 1 конденсатора.

К сожалению идеальных конденсаторов не бывает. Посмотрите в искусстве схемотехники интегратор на операционном усилителе с конденсатором в цепи обратной связи. Я уверен там должно быть (лениво искать, потому что книги у меня недавно пропали вместе с умершим жёстким диском).

[EUgeneUS]

eugrita в сообщении #1460781 писал(а):

На обоих графиках есть точное интегрирование (желтые)

Не похожа желтая линия на точное интегрирование.
Если бы было точное, то каждый минимум должен точно ложиться на $U=0 V$, а этого не наблюдается. Похоже, Симулинк использовал не идеальный конденсатор, а модель реального.

profrotter в сообщении #1460790 писал(а):

Посмотрите в искусстве схемотехники интегратор на операционном усилителе с конденсатором в цепи обратной связи. Я уверен там должно быть (лениво искать, потому что книги у меня недавно пропали вместе с умершим жёстким диском).

Да, там точно есть. Авторы прямо пишут в разделе про интегрирующую цепочку, что ниже рассмотрят хороший интегратор

[Theoristos]

Вопрос странноватый.
Простые интеграторы, приведенные автором вопроса, по факту интегрируют не вход. сигнал, а разность между вход. напряжением и напряжением на конденсаторе. Чем меньше последнее - тем ближе к интегралу вход. сигнала.

Чуть более сложное можно глянуть в том же Хоровице и Хилле. Там даже пример кулонометра есть.

[Snegovik]

Я думаю здесь ответ простой. График переходного процесса идеального интегрирующего звена не имеет искривлений, это прямая линия. RC цепь не является идеальным интегрирующим звеном (по сути это апериодическое звено 1-го порядка), график ее переходного процесса представляет собой экспоненту. Относительно прямой участок, который с долей условности можно считать прямой линией, расположен только в самом начале этого графика. Отсюда и условие о том, что постоянная времени должна быть много больше времени интегрируемого сигнала.