2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказательство эквивалентности нормальности матрицы
Сообщение29.04.2020, 21:56 


28/02/19
16
Пусть $A=(a_{ij})$ - комплексная матрица со спектром $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$, доказать, что следующее условие равносильно нормальности $A$ :

$\sum_{ij}{|a_{ij}|^2}=\sum_i{|\lambda_i|^2}$

Слева направо, доказывается в принципе не сложно:

Допустим, что $A$ - нормальная, тогда $A=UDU^*$, где $D$ - диагональная, $U$ - унитарная. Так же заметим, что $\operatorname{tr}(AA^*)=\sum_{ij}{|a_{ij}|^2}$, это легко проверяется непосредственно. С другой стороны : $\operatorname{tr}(AA^*)=\operatorname{tr}(UDU^*(UDU^*)^*)=\operatorname{tr}(UDU^*UD^*U^*)=\operatorname{tr}(UD'U^*)$, где $D'=\operatorname{diag}(|\lambda_1|^2,|\lambda_2|^2,|\lambda_3|^2\ldots)$.

Т.к. след подобных матриц одинаковый, то $\sum_{ij}{|a_{ij}|^2}=\operatorname{tr}(AA^*)=\operatorname{tr}(UD'U^*)=\operatorname{tr}(D')=\sum_i{|\lambda_i|^2}$

Вот с доказательством справа налево есть проблемы, за что тут можно зацепиться ?

Так же уточню, что вместе с этим заданием предлагалось доказать, что если $A^*$ - многочлен от $A$, то это равносильно нормальности $A$, причем это доказывается легко справа налево и довольно несложно слева направо, допустим через тот же интерполяционный многочлен Лагранжа.

Возможно можно построить замкнутую цепочку $\sum_{ij}{|a_{ij}|^2}=\sum_i{|\lambda_i|^2} \Rightarrow$ $A^*$ - многочлен от $A\Rightarrow~A$ - нормальная $\Rightarrow\sum_{ij}{|a_{ij}|^2}=\sum_i{|\lambda_i|^2}$, но это мне так же сделать не удалось

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство эквивалентности нормальности матрицы
Сообщение29.04.2020, 23:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Проще всего использовать приведение к верхнетреугольной матрице унитарным преобразованием.

Попробуйте сами доказать или ищите по ключевым словам "Schur’s Unitary Triangularization Theorem".

Легко видеть, что матрица нормальна титтк её верхнетреугольная форма (в вышеуказанном смысле) является диагональной. С другой стороны, на диагонали этой формы будут собственные значения исходной матрицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство эквивалентности нормальности матрицы
Сообщение30.04.2020, 09:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
10188
Москва
А так? Приводим матрицу к жордановой форме ортогональными преобразованиями. Левая часть равенства не меняется численно, становясь равной сумме квадратов собственных значений плюс единички из жордановых клеток. Если равенство выполняется - все жордановы клетки размером 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство эквивалентности нормальности матрицы
Сообщение30.04.2020, 09:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Евгений Машеров в сообщении #1459109 писал(а):
Приводим матрицу к жордановой форме ортогональными преобразованиями.


Ортогональными?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство эквивалентности нормальности матрицы
Сообщение30.04.2020, 09:56 


28/02/19
16
g______d в сообщении #1459015 писал(а):
Проще всего использовать приведение к верхнетреугольной матрице унитарным преобразованием.

Попробуйте сами доказать или ищите по ключевым словам "Schur’s Unitary Triangularization Theorem".

Легко видеть, что матрица нормальна титтк её верхнетреугольная форма (в вышеуказанном смысле) является диагональной. С другой стороны, на диагонали этой формы будут собственные значения исходной матрицы.


Да, с помощью этого действительно легко доказывается, спасибо

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group