Изменение импульса и кинетической энергии стены

[profilescit]

При столкновении тела со стеной нельзя пренебрегать изменением импульса стены, но можно пренебрегать изменением кинетической энергии стены. Надо доказать что это так.

Мое решение:
Масса тела $m$ и масса стены $M$
Рассмотрим общий, пусть стена движется со скоростью $\vec{u}$ и тело со скоростью $\vec{v_0}$. Удар упругий, в целом знакомо то что тело после удара (если масса тела пренебрежительно мала в сравнении с массой стены) приобретет скорость $2\vec{u} - \vec{v_0}$, однако докажу это для наглядности. Отмечу так-же что скорости всех тел составляют нулевой угол друг с другом

Закон сохранения импульса: $m\vec{v_0} + M\vec{u} = m\vec{v}+M\vec{w}$
Закон сохранения энегии: $\frac{m v_0^2}{2} + \frac{M u^2}{2} = \frac{m v^2}{2} + \frac{M w^2}{2}$
Выразим из первого уравнения скорость стены после удара: $\vec{w} = \frac{m \vec{v_0} + M \vec{u} - m \vec{v}}{M}$ и подставим во второе уравнение.

$E =\frac{m v_0^2}{2} + \frac{M u^2}{2} = \frac{m v^2}{2} + \frac{M (\frac{m \vec{v_0} + M \vec{u} - m \vec{v}}{M})^2}{2}$
$E =\frac{m v^2}{2} + \frac{1}{2M}(m^2 v_0^2 + M^2 u^2 + m^2 v^2 + 2 m M v_0 u - 2 m M v u - 2 m^2 v_0 v)$
$\frac{m v_0^2}{2} + \frac{M u^2}{2} = \frac{m v^2}{2} + \frac{M u^2}{2} + m u v_0 - m u v + \frac{M}{2} \frac{m^2}{M^2} v_0^2 - \frac{M}{2} \frac{m^2}{M^2} v^2 - \frac{M}{2} \frac{m^2}{M^2} v_0 v$
Пренебрегая последними тремя слагаемыми уравнения выше (в силе $ m << M$) получаем, переходя обратно к векторам, $\vec{v} = 2\vec{u} - \vec{v_0}$

Учитывая это, рассчитаем скорость стены после удара $\vec{w} = \vec{u} + \frac{2 m }{M} (\vec{v_0} - \vec{u}) $

Изменение импульса стены равно $ \Delta \vec{P} = 2 m (\vec{v_0} - \vec{u})$
Изменение кинетической энергии стена равно $\Delta E_c = \frac{M}{2}(w^2-u^2) = 2 m (\vec{v_0} - \vec{u}) \cdot \vec{u} + \frac{M}{2} \frac{4m^2}{M^2} (\vec{v_0} - \vec{u})^2$
Пренебрегая последним слагаемым, изменение кинетической энергии стены равна приблизительно $ 2 m (\vec{v_0} - \vec{u}) \cdot \vec{u} $

В случае изначально покоящийся стены ($u = 0$) изменение кинетической энергии приблизительно равна нулю, а изменение импульса стены равно в модуле $2 m v_0$

Прошу оценить правильность моих рассуждений, выводов. Некоторые моменты с пренебрежением слагаемых кажутся мне не совсем правильными, буду только благодарен если укажите на ошибки.

[DimaM]

profilescit в сообщении #1458554 писал(а):

Прошу оценить правильность моих рассуждений, выводов.

Нормально, по-моему. Хотя скорость тела после удара можно найти гораздо проще: рассмотреть соударение с неподвижной стеной, а потом перейти в СО, движущуюся со скоростью $-\vec{u}$.
Кстати, значок "много меньше" пишется \ll $(m\ll M)$. "Много больше", соответственно, \gg.

[EUgeneUS]

profilescit в сообщении #1458554 писал(а):

Рассмотрим общий, пусть стена движется со скоростью $\vec{u}$ и тело со скоростью $\vec{v_0}$.

Зачем Вам этот восход Солнца вручную?
Случай, когда стена покоится - не менее общий случай. Вы понимаете, почему?

profilescit в сообщении #1458554 писал(а):

При столкновении тела со стеной нельзя пренебрегать изменением импульса стены, но можно пренебрегать изменением кинетической энергии стены. Надо доказать что это так.

Довольно странная постановка вопроса.

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1458563 писал(а):

Довольно странная постановка вопроса.

Очередная формулировка парадокса кинетической энергии, по-моему. Хотя само предложение корявое.

[profilescit]

EUgeneUS, да, понимаю. Однако, всегда стараюсь доказывать так чтобы потом любые варианты было удобно рассмотреть.

Соглашусь, формулировка странная. Скажем, это одна из особенностей задач из румынских сборников

[arseniiv]

Я бы как-то так выписал. Примем стену изначально покоящейся, действительно. Пишем уравнения: $mv = mv' + Mu$, $mv^2 = mv'^2 + Mu^2$. Точное решение без всяких предварительных предположений будет $v' = v \frac{m - M}{m + M}$, $u = \frac{2mv}{m + M}$, и изменение импульса стены, таким образом,

$$Mu = \frac{2Mmv}{m + M} = \frac{2mv}{\frac mM + 1} = 2mv\left(1 + O\left(\frac mM\right)\right),$$

а изменение её кинетической энергии

$$\frac12 Mu^2 = \frac{2Mm^2v^2}{(m + M)^2} = \frac{2m^2v^2}{M(\frac mM + 1)^2} = 2m v^2\, O\left(\frac mM\right).$$

Вот к этому придраться надо суметь. А когда мы пренебрегаем то тем, то этим в разных местах, я бы спросил, а не может ли быть так, что мы где-то пренебрежём в итоге лишнего и т. п.. Единственная проблема, что если $v$ достаточно громадна, то во втором случае как-то не очень пренебрегается.

[EUgeneUS]

profilescit в сообщении #1458579 писал(а):

Соглашусь, формулировка странная. Скажем, это одна из особенностей задач из румынских сборников

Может, конечно, артефакты перевода, или контекст утерян...
Странность в том, что когда говорим "пренебрегаем чем-то", обязательно нужно добавлять "... по сравнению с тем то".
Математически это выражается в виде сравнения безразмерной величины (отношения двух величин одинаковой размерности) с единицей.
В приведенной постановке вопроса не ясно, по сравнению с чем пренебрегаем \ не пренебрегаем изменением энергии \ импульса стены.

-- 28.04.2020, 16:04 --

arseniiv
А у Вас не о-малое должно быть, вместо O-большого?

arseniiv в сообщении #1458585 писал(а):

Вот к этому придраться надо суметь.

Вопрос тот же:

EUgeneUS в сообщении #1458586 писал(а):

по сравнению с чем пренебрегаем \ не пренебрегаем изменением энергии \ импульса стены.

[arseniiv]

EUgeneUS в сообщении #1458586 писал(а):

А у Вас не о-малое должно быть, вместо O-большого?

Не, ну если только $o(1)$ сделать, но это уже ээ будет некорректно писать, до того как мы скажем, что $\frac mM\to 0$, то есть толку в более точном описании не будет совсем.

EUgeneUS в сообщении #1458586 писал(а):

Ну вот здесь мы пренебрегаем не по сравнению с чем, а при условии что ($\frac mM\to 0$). Плюс что $v$ по модулю мала, но на что её можно было бы разделить, чтобы получить безразмерный скаляр, который и устремлять к нулю, мне лень думать.

[EUgeneUS]

arseniiv
Рассмотрим ИСО, в которой шарик покоится, а стена на него налетает со скоростью $U$.
Тогда шарик получит кинетическую энергию $E_b=2mU^2$.
На ту же величину уменьшится кинетическая энергия стены. Она мала по сравнению с чем?

(Оффтоп)

Что-то подсказывает, что надо сравнивать изменение кинетической энергии стены с общей кинетической энергией системы.
Но тогда аналогичный вопрос возникает про импульс.

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1458620 писал(а):

Рассмотрим ИСО, в которой шарик покоится, а стена на него налетает со скоростью $U$.
Тогда шарик получит кинетическую энергию $E_b=2mU^2$.
На ту же величину уменьшится кинетическая энергия стены. Она мала по сравнению с чем?

В такой системе изменение кинетической энергии стены как раз не мало (и им нельзя пренебречь, как раз об этом известный парадокс).
Ну или мало по сравнению с начальной кинетической энергией стены, но это не интересно.

[EUgeneUS]

DimaM

Можно показать, что изменение кинетической энергии стены в любой ИСО будет мало по сравнению с полной кинетической энергией системы в этой ИСО.

Для импульса же найдется такая ИСО, где изменение импульса стены будет не мало по сравнению с суммарным импульсом системы (хотя бы ИСО ц.м., где суммарный импульс ноль).

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1458646 писал(а):

Можно показать, что изменение кинетической энергии стены в любой ИСО будет мало по сравнению с полной кинетической энергией системы в этой ИСО.

Угу, отношение порядка $m/M$, но обычно интересно не это.

[realeugene]

profilescit в сообщении #1458554 писал(а):

При столкновении тела со стеной нельзя пренебрегать изменением импульса стены, но можно пренебрегать изменением кинетической энергии стены. Надо доказать что это так.

Задача сформулирована криво. На самом деле, мне формулировка этой задачи непонятна.

[Утундрий]

profilescit в сообщении #1458554 писал(а):

При столкновении тела со стеной нельзя пренебрегать изменением импульса стены

При определении чего? А то звучит как одинаковость масти единственной лошади.

[profilescit]

Понимаю что задача сформулирована непонятно, нужны некоторые уточнения и подробности. Однако, в каком виде я это задание прочел в таком же и передаю сюда