Корректность определения сигма конечной меры

[Whitaker]

Рассмотрим следующую конструкцию: Пусть $S$ полукольцо подмножеств некоторого множества $X$ и причем $X$ может нe принадлежать $S$, т.е. возможно полукольцо без единицы. Пусть $m$ -сигма-аддитивная мера на $S$ и $X=\sqcup_{i=1}^{n}B_i,$ где $B_i\in S$. Заметим, что каждое $S\cap B_i$ является полукольцом с единицей $B_i$. Ограничения $m$ на $S\cap B_i$ также является сигма-аддитивной мерой. Обозначим через $M_r$ лебеговскую сигма-алгебру подмножеств $B_r$, полученную при продолжении меры $m$ с полукольца $S\cap B_r$ и $\mu_r$ - соответствующую меру Лебега на $M_r$.

Определение: Пусть $A\subset X$. Тогда скажем $A\in M$ в том и только в том случае, когда для всякого $r$ множество $A\cap B_r\in M_r$. При этом если $A\in M$ то определим

$$\mu(A):=\sum \limits_{r\geq 1}\mu_r(A\cap B_r)$$

Далее доказывается, что $M$ является сигма-алгеброй и введенная на ней функция множества является сигма-аддитивной мерой.

Затем в книжке Ульянова-Дьяченко (да и в Колмогорова-Фомине) доказывается, что полученная сигма-алгебра $M$ и мера $\mu$ вовсе не зависят от способа представления множества $X$.

Ну пусть $\sqcup_{i=1}^{n}B_i=X=\sqcup_{j=1}^{n}B'_j$ и пусть $(M,\mu)$ и $(M',\mu')$-сигма-алгебры и меры, соответствующие первому и второму разбиению, соответственно.

Как показать, что $M'=M$ и $\mu'=\mu$. В этих книжках посмотрел но не разобрался никак.

Единственное что пока понял так это надо взять $C_{ij}=B_i\cap B'_j$. Я хочу проверить, что $M=M'$, что равносильно $M\subset M'$ и $M'\subset M$.

Возьмем $A\in M$ тогда по определению $A\cap B_i\in M_i$ для каждого $i$. Так как $C_{ij}\in M_i$ тогда $A\cap C_{ij}\in M_i$. Я знаю, что $\sqcup_{i=1}^{\infty}C_{ij}=B'_j$. Как показать, что $A\in M'$? т.е. $A\cap B'_j\in M'_j$ для всякого $j$?