О неравенстве

[Paper]

Пусть $x, y, z$ будут положительными вещественными номера. Докажи это

$$\frac{a^2-2bc}{a^2+b^2+3c^2}+\frac{b^2-2ca}{b^2+c^2+3a^2}+\frac{c^2-2ab}{c^2+a^2+3ab}\geq-\frac{3}{5}.$$

[arqady]

Paper в сообщении #1457554 писал(а):

Пусть $x, y, z$ будут положительными вещественными номера. Докажи это

$$\frac{a^2-2bc}{a^2+b^2+3c^2}+\frac{b^2-2ca}{b^2+c^2+3a^2}+\frac{c^2-2ab}{c^2+a^2+3ab}\geq-\frac{3}{5}.$$

$$\sum_{cyc}\frac{a^2-2bc}{a^2+b^2+3c^2}=\sum_{cyc}\frac{a^4}{a^4+a^2b^2+3a^2c^2}-2\sum_{cyc}\frac{bc}{a^2+c^2+b^2+c^2+c^2}\geq$$

$$\geq\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum\limits_{cyc}(a^4+4a^2b^2)}-2\sum_{cyc}\frac{bc}{2ac+2bc+c^2}\geq\frac{3}{5}-2\sum_{cyc}\frac{b}{2a+2b+c}=\frac{3}{5}-2\sum_{cyc}\left(\frac{b}{2a+2b+c}-\frac{1}{2}\right)-3=$$

$$=\sum_{cyc}\frac{2a+c}{2a+2b+c}-\frac{12}{5}=\sum_{cyc}\frac{(2a+c)^2}{(2a+2b+c)(2a+c)}-\frac{12}{5}\geq\frac{\left(\sum\limits_{cyc}(2a+c)\right)^2}{\sum\limits_{cyc}(2a+2b+c)(2a+c)}-\frac{12}{5}=-\frac{3}{5}.$$