2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 О неравенстве
Сообщение24.04.2020, 08:06 


24/04/20
1
Пусть $x, y, z$ будут положительными вещественными номера. Докажи это
$$\frac{a^2-2bc}{a^2+b^2+3c^2}+\frac{b^2-2ca}{b^2+c^2+3a^2}+\frac{c^2-2ab}{c^2+a^2+3ab}\geq-\frac{3}{5}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: О неравенстве
Сообщение24.04.2020, 19:00 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Paper в сообщении #1457554 писал(а):
Пусть $x, y, z$ будут положительными вещественными номера. Докажи это
$$\frac{a^2-2bc}{a^2+b^2+3c^2}+\frac{b^2-2ca}{b^2+c^2+3a^2}+\frac{c^2-2ab}{c^2+a^2+3ab}\geq-\frac{3}{5}.$$

$$\sum_{cyc}\frac{a^2-2bc}{a^2+b^2+3c^2}=\sum_{cyc}\frac{a^4}{a^4+a^2b^2+3a^2c^2}-2\sum_{cyc}\frac{bc}{a^2+c^2+b^2+c^2+c^2}\geq$$
$$\geq\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum\limits_{cyc}(a^4+4a^2b^2)}-2\sum_{cyc}\frac{bc}{2ac+2bc+c^2}\geq\frac{3}{5}-2\sum_{cyc}\frac{b}{2a+2b+c}=\frac{3}{5}-2\sum_{cyc}\left(\frac{b}{2a+2b+c}-\frac{1}{2}\right)-3=$$
$$=\sum_{cyc}\frac{2a+c}{2a+2b+c}-\frac{12}{5}=\sum_{cyc}\frac{(2a+c)^2}{(2a+2b+c)(2a+c)}-\frac{12}{5}\geq\frac{\left(\sum\limits_{cyc}(2a+c)\right)^2}{\sum\limits_{cyc}(2a+2b+c)(2a+c)}-\frac{12}{5}=-\frac{3}{5}.$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group