Исследовать на равномерную сходимость функциональный ряд

[HateThisProblem]

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{2n+x^{2n}n^{-x}}$$

Необходимо исследовать на [$\frac{1}{100}$,100]
Разбил отрезок на три:[$\frac{1}{100}$,1],[1,1+$\delta$],[1+$\delta$,100],$\delta$>0
На первом удалось представить ряд как

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{2n}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{-x^{2n}n^{-x}\sin(nx)}{2n(2n+x^{2n}n^{-x})}$$

Первый ряд равномерно сходится по Дирихле,второй по признаку Вейерштрасса,т.к.

$$\frac{x^{2n}n^{-x}\sin(nx)}{2n(2n+x^{2n}n^{-x})}\leqslant\frac{1}{4n^{2}}$$

,

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n^{2}}$$

сходится
На третьем равномерная сходимость по тому же признаку:

$$\left\lvert\frac{\sin(nx)}{2n+x^{2n}n^{-x}}\right\rvert\leqslant\frac{n^{100}}{(1+\delta)^{2n}}$$

$$n^{100}=o((1+\delta)^{n})$$

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(1+\delta)^{n}}{(1+\delta)^{2n}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(1+\delta)^{n}}$$

Сходится как геом.прогрессия
Проблемы появились со вторым промежутком

[DeBill]

HateThisProblem
Ряд выглядит страшновато...
И, да, напрямую применить признак Дирихле не удается:
хотя частичные суммы для ряда $\sum\limits_{}^{} \sin nx$ и будут равномерно ограничены, а оставшийся множитель и стремится равномерно к нулю - однако нет монотонности этого множителя.
Однако, если влезть в д-во этого признака, видим: требование монотонности - можно ослабить (например, потребовав, чтоб в последовательности этой монотонность сменялась не более чем один (ну, или семь...) раз - хотя бы даже и местах, зависящих от $x$). Тогда, может, получится? (и даже без разбиения на части?)

[kotenok gav]

(Оффтоп)

HateThisProblem в сообщении #1457371 писал(а):

Необходимо исследовать на [$\frac{1}{100}$,100]
Разбил отрезок на три:[$\frac{1}{100}$,1],[1,1+$\delta$],[1+$\delta$,100],$\delta$>0

$[\frac1{100},100]$
$[\frac1{100},1],[1,1+\delta],[1+\delta,100],\delta>0$