Задача по топологии прямой

[Padawan]

В связи с задачей http://dxdy.ru/post1456054.html#p1456054. Попробуем усилить утверждение.

Докажите, что интервал $(0,1)$ нельзя представить, в виде объединения счётного семейства его непустых попарно не пересекающихся компактных подмножеств.

Следствие (простое). Открытое множество $G\subset\mathbb R^n$ (и даже в любом топологическом векторном пространстве) нельзя представить в виде объединения счётного семейства его непустых попарно не пересекающихся компактных подмножеств.

Вчера предложил очевидно не верную задачу, и пока никто не ответил быстро её удалил . Сейчас, надеюсь, правильное утверждение.

[mihaild]

А совсем по рабоче-крестьянски не работает?
Взяли покрытие $[0, 1] = \sqcup\limits_{i = 1} X_i$ (докинем пару точек к покрытию $(0, 1)$), причем $[0, 1]$ не содержится целиком ни в одном из $X_i$. Выкинули $X_1$, получили непустое открытое множество. В нем есть интервал. В этом интервале есть граничная точка какого-то из наших компактных множеств (т.к. он целиком ни в одном из них не содержится). Возьмем отрезок, целиком лежащий в нашем интервале, содержащий эту граничную точку. Этот отрезок покрыт уже $\sqcup\limits_{i = 2} X_i$, и опять же не содержится ни в одном из них целиком. Процедуру повторить.
Получили последовательность вложенных отрезков, у них есть общая точка, но она не принадлежит ни одному из $X_i$.

[Padawan]

mihaild в сообщении #1456429 писал(а):

и опять же не содержится ни в одном из них целиком.

Не понял

[mihaild]

Padawan в сообщении #1456592 писал(а):

Не понял

В отрезке $[a, b]$ есть внутренняя точка $c$, являющаяся граничной для $X_p$, $p \neq 1$. Т.к. она граничная для $X_p$, то она ему принадлежит. Т.к. она граничная для $X_p$, то в её окрестности есть точка $d \notin X_p$. Т.к. весь отрезок покрыт, то $d \in X_q$, причем $q \neq p$ и $q \neq 1$ (т.к. даже $[a, b]$ не пересекается с $X_1$). Значит отрезок $[a, b]$ пересекается с хотя бы $X_p$ и $X_q$, и значит не содержится целиком ни в одном из $X_i$.

[Padawan]

Понял. Все правильно вроде бы.

[mihaild]

И на самом деле получается даже более сильное утверждение (https://math.stackexchange.com/a/6338/659499): если континуум (связное компактное хаусдорфово пространство) представлен в виде объединения непересекающихся замкнутых множеств, то непустых среди них либо максимум одно, либо несчетно. Доказательство почти такое же.

[Padawan]

Ага, я знал это утверждение из книги Куратовского Топология, том 2. Доказательство только не знал.

[Padawan]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1456429 писал(а):

А совсем по рабоче-крестьянски не работает?

Слава рабочим и крестьянам Всех с праздником