Стержень и две бусинки

[profilescit]

Стержень согнули под углом $\frac{\pi}{2}$ и расположили так, что одна из сторон получившегося угла вертикальна, а вторая горизонтальна. На каждую сторону угла надели маленькие массивные бусинки с массами $m$ и $2m$ и соединили их невесомым стержнем длиной $l$. В начальный момент стержень вертикален. Затем от малого толчка он приходит в движение, и бусинки скользят по сторонам угла (см. рисунок). Найти максимальную скорость нижней бусинки в процессе последующего движения.





Попытки решения: Начальная энергия системы $E_1 = mgl $ переходит в кинетическую энергию двух бусинок
$m g l = m g y + \frac{m\dot{y}^2}{2} + \frac{2m \dot{x}^2}{2}$
Так-же можно записать что $x^2 + y^2 = l^2$ - стержень постоянной длины.

Так-же пробовал взять производную по времени от последнего выражения, получая что
$x\dot{x} + y\dot{y} = 0$

Используя все выражения выше, пришел к такому вот уравнению:

$m g y + \frac{m \dot{y}^2}{2} + \frac{m y^2 \dot{y}^2}{l^2-y^2} = m g l$

Можно попробовать решить (признаюсь, не знаю как) и узнать зависимость $\dot{y}$ от времени, найти максимум.

Есть ли более изящный способ решения?
Как решить этот диффур?

[stalvoron]

Хотел уточнить условие.
Какой стержень изначально вертикален?
Насчёт способа защемления соединяющего стержня в бусинках? Вероятно не жёстко, иначе они тогда не сдвинутся. Шарнирно?
А условие малого толчка это обязательно, или имелось в виду что просто в какой то момент шарик m освобождается и начинает движение ?

[profilescit]

stalvoron, линия которая соединяет бусинки изначально была вертикальна (это и есть стержень). Да, хоть это и не говорится в условии, думаю что шарнирно соединены.

[Ascold]

profilescit в сообщении #1456017 писал(а):

Можно попробовать решить (признаюсь, не знаю как)

это уравнение с разделяющимися переменными, легко приводится к виду $\dot{y}^2=f(y),$ затем $\dot{y}=\pm\sqrt{f(y)},$ выбираем знак минус, т.к. верхний груз ускоряется вниз из состояния покоя, а ось направлена вверх. Только интеграл будет, скорее всего, не очень. И Вам надо бы дифур по иксам сделать, ведь именно максимум $\dot{x}$ требуется.
С другой стороны - а зачем решать диф. ур-е. по времени? Найдите зависимость скорости $\dot{x}$ от координаты и из неё усмотрите при каком $x$ $\dot{x}$ будет максимальной. Т.е. составьте и исследуйте функцию $v=v(x).$

[profilescit]

Ascold, спасибо, вроде как разобрался. Осталось только понять как это решить другим, более "школьным" способом.

[Mihr]

profilescit в сообщении #1456063 писал(а):

Осталось только понять как это решить другим, более "школьным" способом

А нельзя ли это сделать на основе стандартной задачи исследования функций на максимум/минимум? Пишем на основе закона сохранения энергии выражение для кинетической энергии нижней бусинки в зависимости от её координаты (либо от угла между стержнем и горизонталью), дальше, вроде бы, всё стандартно...

[DimaM]

profilescit в сообщении #1456063 писал(а):

Осталось только понять как это решить другим, более "школьным" способом.

1. Находим зависимость потенциальной энергии от какой-нибудь координаты (в качестве координаты удобно взять угол между стержнем и горизонталью или вертикалью).
2. Находим связь скоростей бусинок (нетрудно заметить, что проекции этих скоростей на направление стержня должны быть одинаковы), выражаем кинетическую энергию через скорость нижней бусинки и угол.
3. Комбинируя 1 и 2, выражаем скорость нижней бусинки (или ее квадрат) через угол. Получаем функцию одной переменной.
4. Находим максимум функции, выражаем искомую максимальную скорость.
5. PROFIT!!!