Липшицева константа для минимального собственного числа

[Arastas]

Задана $\mathbb{R}_{\ge0} \to \mathbb{R}^n$ функция $v$, $|v(t)|<C$ для всех $t\in\mathbb{R}_{\ge0}$. Пусть $A: \mathbb{R}_{\ge0} \to \mathbb{R}^{n \times n}$ задана как

$$A(t) = \int_{0}^{t}v(s)v^\top(s)ds.$$

Соответственно, $A(t)$ - симметричная и положительно полуопределенная. Пусть $f: \mathbb{R}_{\ge0} \to \mathbb{R}$ это минимальное собственное число матрицы $A$, $f(t) = \lambda_{\min}A(t)$. На сколько я понимаю, функция $f$ будет непрерывной, неубывающей, но не обязательно везде дифференцируемой. Однако, для неё справедливо

$$0 \le f(t+h)-f(t) \le \rho\,h$$

для всех $t\ge0$ и $h \ge 0$ и некоторого $\rho>0$.

Вопрос - справедливо ли неравенство выше и как связать $\rho$ и C?

-- 16.04.2020, 18:49 --

Подумал, что

$$f(t+h) \le f(t) + \lambda_{\max}\left(\int_{t}^{t+h} v(s)v^\top(s)ds\right).$$

Каждый элемент матрицы $\int_{t}^{t+h} v(s)v^\top(s)ds$ меньше, чем $C\,h$, а отсюда можно выйти на ограничения свержу для максимаьного собственного числа, и, соответственно, $\rho$. Верно?

[vpb]

Arastas в сообщении #1455176 писал(а):

Подумал, что

Правильно подумали.

Arastas в сообщении #1455176 писал(а):

Верно?

Верно, но можно уточнить. Пусть $v$ --- какой-то вектор. Каковы собственные значения матрицы $vv^t$, через $|v|$ ?

[Arastas]

vpb писал(а):

Верно, но можно уточнить. Пусть $v$ --- какой-то вектор. Каковы собственные значения матрицы $vv^t$, через $|v|$ ?

Одно равно $|v|$, остальные нули. Получается, что

$$\lambda_{\max}\left(\int_t^{t+h}v(s)v^\top(s)ds\right) \le \int_t^{t+h}|v(s)|ds \le Ch,$$

верно?