Вычисление момента силы.

[Norma]

В каждой точке поверхности: $S: x^2+\frac{y^2}{4}\leqslant 1$ задан вектор напряжений:
$\vec{p}=(y,x,0)$. Нужно определить полный момент пов. сил.

По определению вектора напряжений:
$\vec{p}=\frac{d\vec{F}_{sur}}{dS}$

Отсюда:
$d\vec{F}_{sur}=\vec{p}dS$

Момент силы $d\vec{F}_{sur}$ :

$d\vec{M}=\vec{r}\times d\vec{F}_{sur}=\vec{r}\times\vec{p}dS$

1)Тут возник вопрос: Определение момента силы дается так: $\vec{M}=\vec{r}\times \vec{F}_{sur}$, но тут мы имеем дело с поверхностной силой, которая не определена в точке. А что такое дифференциал силы $d\vec{F}_{sur}$ лично мне не очень понятно.

Тогда суммарный момент:
$\vec{M}=\iint\limits_{S}^{} \vec{r}\times\vec{p}dS$

2)Я же правильно понимаю, что для того чтобы избавиться от дифференциалов, мы интегрируем обе части равенства по поверхности. Строго ли такое обоснование с точки зрения математики?

[DimaM]

По смыслу нормально, но задача явно недоформулирована:
1. поверхность $S$ плоская или нет?
2. относительно какой точки нужно определить момент сил?

"Вектор напряжений" для меня звучит достаточно дико. В механике сплошной среды обычно говорят про тензор напряжений $\sigma_{ik}$, который определяет силу через маленькую площадку $\vec{dS}$ как $dF_i=\sigma_{ik}dS_k$. То есть ваш вектор напряжений связан с тензором напряжений и вектором внешней нормали $\vec{n}$ как $p_i=\sigma_{ik}n_k$.

[Norma]

DimaM
Да, немного недоговорил. Поверхность плоская ($z=\operatorname{const}$). Момент нужно вычислить относительно оси, проходящей центра эллипса.

[DimaM]

Norma в сообщении #1454560 писал(а):

Поверхность плоская ($z=\operatorname{const}$). Относительно оси, проходящей через центр эллипса.$\vec{r}=(x,y)$

А, ну тогда все гораздо проще. Получается вектор силы пропорционален радиус-вектору и перпендикулярен ему.
По сути, вычисление получается аналогичное вычислению момента инерции эллипса относительно оси, проходящей через центр перпендикулярно плоскости эллипса.