Вопрос по комбинаторике мороженного и монеток

[frostysh]

Вопрос

У нас есть десять сортов мороженного и рожок в который можно взять допустим три шарика различных сортов, а можно одинаковых, порядок может быть важен, а может быть и нет. У нас есть монетки, мы берем одну и подбрасываем десять раз, монетка падает или орлом или решкой с одинаковыми вероятностями пятьдесят на пятьдесят. Число всех возможных комбинаций без учета порядка

$$\binom{10}{3},$$

вероятность выпадения четырех орлов

$$\dfrac{\binom{10}{4}}{2^{10}},$$

почему в столь различных экспериментах один и тот же принцип подсчета комбинаций исходов?

Попытки разобраться

С различными сортами мороженного я быстро понял о чем шла речь, и понял как искали комбинации, точней перестановки. А именно для различных сортов мороженного, когда порядок важен и мороженное не должно повторятся, мы можем наполнить рожок $10 \cdot 9 \cdot 8$ способами. Если порядок не важен, значит

$$\dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1},$$

просто представить огромное множество рожков, а потом сгруппировать их по одинаковых сортах вне зависимости от порядка, то есть берем некие три сорта и перебираем для них все возможные порядки в рожке выстраиваем это все в воображении в одну линию и отбрасываем все возможные перестановки. Это логично ибо сначала идет выборка с десяти сортов, а потом поскольку повторы невозможны — из девяти и так далее... Но вот когда сорта могут повторятся и порядок не важен, вот тут то я и не особо понял... Во первых говорится что в комбинаторике нету нецелых чисел, ну это вроде логично — что такое половина комбинации? Во вторых что допустим у нас только два сорта в рожке а не три возможных, тогда количество комбинаций

$$2 \cdot \binom{10}{2},$$

у нас же три шарика вмещается, почему это не вчитывается никуда? Двойка по идее потому что один шарик может быть одним сортом, а двое других — другим, а потом наоборот, но все ровно не очень понятно.
За монетки, каким образом получается что из десяти подбрасований, вероятность выпадения четырех орлов допустим, будет

$$\dfrac{\binom{10}{4}}{2^{10}}.$$

То что внизу дроби я понимаю, но не понимаю то что сверху. Заранее спасибо.

П. С. Как напечатать чтобы Латех не уменьшал дробь с биномальным коэффициентом, когда \dfrac не помогает?

[arseniiv]

Я вот например не понял, какова постановка задач(и) в точности, и что там предполагается сравнивать с монеткой. (Если задач, то сколько их.)

[frostysh]

arseniiv

Там не задача, это в единственной книге по математике которую я прочитал "от корочки и до корочки", и сейчас переразбираюсь в ней: "Магия математики" авторства Артура Бенджамина. Идет рассказ по "азах" комбинаторики, и вот я не пойму там некоторых моментов, начав с того что я не пойму откудова биномальные коэффициенты берутся в бросании монеток когда задается вопрос: "А какая вероятность выпадения четырех орлов с десяти подбрасываний?", то есть я понимаю что всего, без учета порядка подбрасываний будет $2 \times 2 \times 2 \times \ldots = 2^{10}$, но какая логика в десяти комбинаций по четырех, это вопрос для меня. Поэтому решил немного "покошмарить" форум в этом плане, а где я еще ответы найду.

[arseniiv]

Ну начать с того, что всех подбрасываний будет всё же 10. Всевозможных последовательностей подбрасываний, и именно что с учётом порядка, будет $2^{10}$.* Тут мы каждому подбрасыванию (которых 10) сопоставляем его исход (которых 2). Чтобы получить только те последовательности, в которых $m$ орлов, мы выбираем $m$ разных номеров подбрасываний из 10, притом без какого-то порядка: нам нужно знать только номера подбрасываний, которым мы исходами поставим орлы, а в остальных поставим решки. Вот и вышло $\binom{10}m$.

* А без учёта порядка их будет $10 + 1$: каждая из $n$ решек и $10-n$ орлов.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Сформулируйте внятно конкретную задачу.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.