Конечность действия

[Утундрий]

Пусть $\phi (t,x)$ - ограниченная экстремаль функционала

$$S[\phi(\cdot)] = \int\limits_{\mathbb{R}^2 } {\left[ {\left( {\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}}} \right)^2 - \left( {\frac{{\partial \phi }}{{\partial x}}} \right)^2 } \right]} dtdx.$$

Докажите, что $S$ - конечно.

[Red_Herring]

А на каких функциях $\phi$ Вы определяете действие? Вообще-то экстремаль будет решением волнового уравнения, что в этом случае означает, что $\phi(x,t)=\varphi(x+t)+\psi(x-t)$, и тогда

$$ S= -4\iint \varphi'(x+t)\psi'(x-t)\,dxdt= -c\int \varphi'(\xi)\,d\xi \times \int \psi'(\eta)\,d\eta =0 $$

если мы предположим что ....

[Утундрий]

Функции предполагаем нужное число раз как положено дифференцируемыми. Я тоже пошёл по пути наименьшего сопротивления, только у меня получилось плюс два перед интегралом:

$$\phi (t,x) = a(x - t) + b(x + t)$$

$$S = 2\int {\dot a(\eta )\dot b(\xi )} d\eta d\xi = 2\left[ {a( + \infty ) - a( - \infty )} \right]\left[ {b( + \infty ) - b( - \infty )} \right]$$

Вопрос, обязательно ли знать само решение?

P.S. Кажется там даже плюс четыре, но важно что не нуль.

[Red_Herring]

Утундрий в сообщении #1453953 писал(а):

Вопрос, обязательно ли знать само решение?

Ну если Вам нужна только $1$ пространственная переменная, то это путь наименьшего сопротивления. Если несколько то тоже что-то вроде этого. Если число пространственных переменных нечетно, то очень помогает принцип Гюйгенса, если четно, то посложнее, но я уверен, что в любом случае $\int (\phi_t^2 +|\nabla \phi|^2)\bigr|_{t=0}(|x|^2+1)^s \,dx <\infty$ влечет $S=0$. Вопрос только, чему равно $s$, и можно ли взять его равным $0$.

[Утундрий]

Red_Herring в сообщении #1453962 писал(а):

помогает принцип Гюйгенса

Не уловил. Сведение к интегрированию по границе?

[Red_Herring]

Утундрий в сообщении #1453963 писал(а):

Сведение к интегрированию по границе?

Рассмотрим $S_T$, когда интеграл берется по $-T\le t\le T$. После интегрирования по частям получим разность $\iiint \phi(x,T)\phi_t(x,T)\,dx$ (и такого же интеграла с $-T$, в предположении что начальные данные хорошо убывают по $x$. Надо показать, что при больших $t$ решение хорошо аппроксимируется сферической волной $|x|^{-1}\Bigl(\psi (|x|-t)-\psi(|x|+t)\Bigr)$ ($n=3$), а для нее $S=0$.