Кaнoническая система координат, пoвoрот и сдвиг.

[kot-obormot]

Здравствуйте! Есть задача, с которой не получается разобраться, помогите, пожалуйста. У меня вопросы только по построению и повороту, осям, но вычисления свои описываю также. Задача такая:

Цитата:

Свести уравнение $4xy-4x^2-y^2+10\sqrt{5}x+10\sqrt{5}y+25=0$ к кaнoническому видy, испoльзуя oртогoнальное прeoбрaзование. Сoбcтвeнные числа преобразовaния рacпoложить в порядке вoзрaстания. Указать канонический вид уравнения, преобразования пeрeхода. На плоскости изобразить канoничeскую систему координат, а также исходную и кривую второго порядка.

$4xy-4x^2-y^2+10\sqrt{5}x+10\sqrt{5}y+25=0$

$A=\begin{pmatrix} -4&2\\ 2&-1\\ \end{pmatrix}$

Собственные числа нашел, а также собственные вектора, проверил с помощью https://www.wolframalpha.com/input/?i=eigenvalues+%7B%7B-4%2C2%7D%2C%7B2%2C-1%7D%7D

Собственные числа $\lambda_1=-5$; $\lambda_1=0$

Матрица нормированных собственных векторов:

$S=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \begin{pmatrix} 2&1\\ -1&2\\ \end{pmatrix}$

$x=\frac{1}{\sqrt{5}}(2x'+y')$

$y=\frac{1}{\sqrt{5}}(-x'+2y')$

Подставляем сюда $4xy-4x^2-y^2+10\sqrt{5}x+10\sqrt{5}y+25=0$, получаем (проверка https://www.wolframalpha.com/input/?i=4xy-4x%5E2-y%5E2%2B10%5Csqrt%7B5%7Dx%2B10%5Csqrt%7B5%7Dy%2B25%2C+x%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%282a%2Bb%29%2C+y%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%28-a%2B2b%29)

$-5x'^2+10x'+30y'+25=0$

Выделяем полный квадрат:

$-5(x'^2-2x')+30y'+25=0$

$-5(x'^2-2x'+1-1)+30y'+25=0$

$-5(x'-1)^2+30y'+30=0$

$6(y'+1)=(x'-1)^2$

$x''^2=6y''$. Парабола.

$x''=x'-1$, $y''=y'+1$.

Картинка у меня получилась неверная (вроде как).

Как узнать - куда поворачивать (по часовой или против) и каким образом?



-- 11.04.2020, 00:19 --

Можно с помоощью такого поворота, но в какую сторону отсчитывается угол $\theta$ - по часовой стрелки или против (и относительно какой системы координат?

$ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \mp \sin \theta \\ \pm \sin \theta & \cos \theta \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix}.$


$x' = x \cos \theta \mp y \sin \theta$
$y' = \pm x \sin \theta + y \cos \theta$

-- 11.04.2020, 00:24 --

Сравнивая $S=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \begin{pmatrix} 2&1\\ -1&2\\ \end{pmatrix}$ и матрицу поворота $\begin{bmatrix} \cos \theta & \mp \sin \theta \\ \pm \sin \theta & \cos \theta \\ \end{bmatrix}\\ $, можно понять, что $\cos \theta=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$, $\sin \theta = \mp \dfrac{1}{\sqrt{5}}$. Но как здесь определиться со знаком у синуса, чтобы выбрать угол и откуда и куда отсчитывается угол - тоже не ясно.

[kot-obormot]

Судя по всему нужно брать с плюсом, потому как вроде правильно писать так (посмотрел и понял вывод через полярную систему координат):


$x' = x \cos \theta - y \sin \theta$
$y' = x \sin \theta + y \cos \theta$

В обратную сторону переводить

$x = x'\cos \theta + y' \sin \theta$
$y =- x' \sin \theta + y' \cos \theta$

Так как у нас второй случай, то что $\cos \theta=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$, $\sin \theta = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$. Правильно ли это? Точно ли в таком случае что-то не так с картинкой?

-- 11.04.2020, 01:38 --

И еще, преподаватель сказал, что нужно oриентироваться на сoбственные вектора при пoвороте, но как?

[Otta]

kot-obormot
Я не буду проверять, все ли у Вас правильно в выкладках, - проверьте сами, пож-ста, это легко сделать прямой подстановкой.
По повороту (еще без сдвига):

kot-obormot в сообщении #1453450 писал(а):

$x=\frac{1}{\sqrt{5}}(2x'+y')$
$y=\frac{1}{\sqrt{5}}(-x'+2y')$

Я б не мучилась, сделала обратную замену (это легко, зная матрицу перехода), и подставила бы в выражения $x'=x'(x,y), \ y'=y'(x,y)$ стандартный базис, чтобы узнать, куда он переходит. С последующим сдвигом все совсем просто.

[Someone]

kot-obormot в сообщении #1453450 писал(а):

$x' = x \cos \theta \mp y \sin \theta$
$y' = \pm x \sin \theta + y \cos \theta$

Поворот записываем в виде

$$\begin{cases}x=x'\cos\thetf-y'\sin\theta,\\ y=x'\sin\theta+y'\cos\theta,\end{cases}$$

угол поворота отсчитывается против часовой стрелки (если у Вас, как обычно, система координат правая; судя по рисунку, так и есть).

kot-obormot в сообщении #1453461 писал(а):

И еще, преподаватель сказал, что нужно oриентироваться на сoбственные вектора при пoвороте, но как?

Возможно, он имеет в виду, что каноническое уравнение параболы имеет вид не такой, какой у Вас получился. Как выглядит каноническое уравнение параболы?

Первый собственный вектор (который будет соответствовать оси $x''$) должен быть направлен вдоль оси параболы в ту полуплоскость, в которой лежат ветви параболы, а второй нужно направить так, чтобы получилась правая система координат. Может понадобиться умножить какой-нибудь из собственных векторов на $-1$.

График-то у Вас правильный, но оси координат подкачали…

Вложение:

PlotPar.gif

[Otta]

(Оффтоп)

Someone
А вот этот

Someone в сообщении #1453469 писал(а):

Поворот записываем в виде

элемент программы обязателен? (Я для себя, иногда бывает надо, но обычно я обхожусь без записи ортогонального преобразования в виде поворота).

[Someone]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #1453471 писал(а):

А вот этот … элемент программы обязателен?

Ну, во-первых, вопрошающий желает знать угол поворота, для чего сравнивает запись преобразования координат для данного случая с записью поворота в общем случае, а во-вторых, преобразование координат автоматически именно в таком виде и записывается.

[kot-obormot]

Someone в сообщении #1453469 писал(а):

График-то у Вас правильный, но оси координат подкачали…

Спасибо! А если оставить мои оси, то угол должен быть около 26 градусов (а у меня скорее 64 градуса?)?

Someone в сообщении #1453469 писал(а):

Первый собственный вектор (который будет соответствовать оси $x''$) должен быть направлен вдоль оси параболы в ту полуплоскость, в которой лежат ветви параболы, а второй нужно направить так, чтобы получилась правая система координат. Может понадобиться умножить какой-нибудь из собственных векторов на $-1$

Спасибо! А как проверять - правая система координат или нет, в данном случае?

[Someone]

kot-obormot в сообщении #1453520 писал(а):

А если оставить мои оси, то угол должен быть около 26 градусов (а у меня скорее 64 градуса?)?

На моём рисунке оси координат не обозначены, поэтому угол поворота не определён. На вашем рисунке — не то и не другое. Угол поворота отсчитывается в положительном направлении, то есть, в направлении кратчайшего поворота от оси $Ox$ к оси $Oy$. Соответственно, Вам нужен угол от оси $Ox$ до оси $O'x'$ (или $O''x''$), отсчитанный в положительном направлении (предполагается, что обе системы ориентированы одинаково, то есть, обе правые или обе левые; иначе они поворотом не совмещаются).
И посмотрите в учебнике каноническое уравнение параболы. Ваше уравнение не каноническое. Вам преподаватель об этом говорил, но Вы не поняли.

kot-obormot в сообщении #1453520 писал(а):

А как проверять - правая система координат или нет, в данном случае?

По направлению кратчайшего поворота от оси $Ox$ к $Oy$. В правой системе координат поворот будет против часовой стрелки, в левой — по часовой стрелке.

[kot-obormot]

Спасибо! Кажется получается что-то такое!

[Someone]

kot-obormot в сообщении #1453824 писал(а):

Кажется получается что-то такое!

Да, теперь правильно.