существует ли гладкая f(x,y,z) с градиентом (z,x,y)

[2old]

Существует ли гладкая функция $f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$, такая, что $\nabla f(x,y,z) = (z,x,y)$.
Подскажите, с чего начать? Что-то я сломался. Я думал рассмотреть полный дифференциал $f(x,y,z)=c$ и добавить еще какое-то направление, тип $x=z$. И поймать какое-то противоречие на разных направлениях, но что-то не понятно. Спасибо

[Munin]

Нарисуйте этот ваш градиент, скажем, в точках $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).$ Тогда поймёте, что это за градиент, и как ловить противоречие.

[g______d]

2old в сообщении #1452873 писал(а):

Существует ли гладкая функция $f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$, такая, что $\nabla f(x,y,z) = (z,y,x)$.

Вот если бы была какая-нибудь теорема вроде "гладкая функция $f\colon \mathbb R^3\to \mathbb R^3$ является градиентом тогда и только тогда, когда ...", было бы здорово, правда?

[2old]

g______d
Спасибо, я хотел на этом примере как то руками сделать, прежде чем разбираться с теоремами про потенциальное поле.

Munin
Я нарисовал, отсюда и захотелось руками написать что оно ломается. Но я не понимаю как. Была бы у меня функция какая-то дана, тогда я знаю как найти ее проивзодные по разным направлениям.
Интуитивно кажется, что противоречие в том что я могу около 0 ходить по градиентам как по кругу и должен расти, но градиент в самом нуле ноль, значит где-то он должен уменьшаться.
Но как это все записать нормально.

[g______d]

2old в сообщении #1452893 писал(а):

я хотел на этом примере как то руками сделать, прежде чем разбираться с теоремами про потенциальное поле.

Ну ладно.

Как вариант (того же самого), можно предположить, что $(z,x,y)=\nabla f$ и посмотреть совпадают ли смешанные вторые производные $f$, подсчитанные двумя способами.

[Munin]

2old в сообщении #1452893 писал(а):

Интуитивно кажется, что противоречие в том что я могу около 0 ходить по градиентам как по кругу и должен расти

Да.

Вообще для градиента можно записать интеграл. По замкнутой линии он будет равен...

[Red_Herring]

2old в сообщении #1452893 писал(а):

захотелось руками написать

Начните с того, что частная производная по $x$ равна $z$, правильно проинтегрируйте и подставьте в следующие уравнения, и т.д.

[gevaraweb]

Да, раз сказано только, что функция гладкая, сравнивать вторые производные некорректно. А интегрировать можно.
Ваш кэп.

[g______d]

gevaraweb в сообщении #1453260 писал(а):

Да, раз сказано только, что функция гладкая, сравнивать вторые производные некорректно.

Градиент бесконечно гладкий по условию. Следовательно, сама функция тоже.

[novichok2018]

Можно прочитать в Фихтенгольце характеристики потенциального и соленоидального полей для гладких функций. Полезно.

[gevaraweb]

g______d в сообщении #1453263 писал(а):

Градиент бесконечно гладкий по условию. Следовательно, сама функция тоже.

Да, точно. Но что-то мне думается, что составитель задачи хотел, чтоб мы этого "не заметили". Иначе зачем условие - гладкая? (риторический вопрос).

[g______d]

gevaraweb в сообщении #1453268 писал(а):

Иначе зачем условие - гладкая? (риторический вопрос).

Часто «гладкая» подразумевает «бесконечно гладкая» или «достаточно гладкая», как раз чтобы читатель не тратил время на определение точного класса гладкости. Я прочитал именно так.

Кроме того, если под «гладкая» понимать «дифференцируемая», а не, например, «непрерывно дифференцируемая», то интегрировать, вообще говоря, нельзя без введения интеграла Курцвейля-Хенстока или эквивалентного. Так что что-то дополнительное предполагать всё равно придётся.

[gevaraweb]

g______d в сообщении #1453270 писал(а):

Кроме того, если под «гладкая» понимать «дифференцируемая», а не, например, «непрерывно дифференцируемая», то интегрировать, вообще говоря, нельзя

Раньше вроде учили, что гладкая - это все таки непрерывно дифференцируемая функция. Достаточно гладкая тоже, да встречалось, но тут этого слова нету же. Еще дифференцируемая , пусть не гладкая функция, являлась непрерывной, и, поэтому, интегрируемой.

[Red_Herring]

Я может быть и неправ, но мне кажется, что ТС не совсем созрел (дозрел) до этой ученой дискуссии. Я предложил проинтегрировать потому, что это позволяет не только проверить существует ли решение (знание критериев, безусловно, важно), но и найти его в случае существования (с точностью до ... и это тоже выяснится на этом пути). И такой навык тоже весьма полезен.

[gevaraweb]

Red_Herring в сообщении #1453282 писал(а):

Я может быть и неправ

Так и есть, пока тут на уровень ученой дискуссии не тянет Элементарные (базовые) вещи же обсуждаются.