Изотропный гарм. осцилл. в классической и квантовой механике

[physicsworks]

Измерение положения трехмерного изотропного гармонического осциллятора в определенный момент времени дало $\mathbf{r} = \mathbf{R}$. Докажите, что измерение положения осциллятора через пол периода гарантированно даст $-\mathbf{R}$.

[g______d]

Вроде понятно.

(Более-менее решение)

Раз измерили (в начальный момент), значит состояние в координатном представлении сколлапсировало до $\delta(\mathbf r-\mathbf R)$. Разложили по собственным функциям осциллятора и провели эволюцию на половину периода. Эволюция на пол-периода умножит половину коэффициентов разложения на $1$, половину на $-1$ (следует из формулы для собственных чисел осциллятора). Поскольку половина полиномов Эрмита чётная, половина нечётная -- умножение нужной половины на $-1$ равносильно замене $\psi(\mathbf r)$ на $\psi(-\mathbf r)$. То есть после эволюции будет $\delta(-\mathbf r-\mathbf R)=\delta(\mathbf r+\mathbf R)$.

[physicsworks]

g______d, верно!

(SPOILER)

Можно использовать представление Гейзенберга, в котором уравнения движения для операторов получаются идентичны классическим, а состояния не изменяются во времени. Результат получается еще более просто.