Шарик над плоскостью (квантмех)

[physicsworks]

Идеально упругий "шарик" массы $m$ скачет над плоскостью в вертикальном поле силы тяжести. Оцените энергию основного состояния шарика используя вариационный принцип. (если удачно выбрать затравочную в.ф., результат получится намного лучше оценки квазиклассического приближения)

[Утундрий]

Это задача на риндлеров вакуум, что ли?

[physicsworks]

Неа, мы здесь по рабоче-крестьянски: нерелятивистская квантовая механика.

[g______d]

(Не решение)

Ну тут вроде переменные делятся, и всё сводится, с точностью до нескольких масштабирований, к поиску минимального собственного значения оператора $-\frac{d^2}{dx^2}+x$ на положительной полуоси с условием Дирихле ($\psi(0)=0$). Спектр этого оператора дискретный. Точно, наверное, не найти, но через нули функций Эйри должен выражаться.

[physicsworks]

(spoiler)

Ну, я, как ленивый человек, точно не решал и довольствовался простой физической затравкой $\psi \sim x e^{-\alpha x}$, для которой энергия $E(\alpha) = 3mg/(2\alpha) + \hbar^2 \alpha^2/(2m) $ и минимизация дает $E \approx 1.36 (m g^2 \hbar^2)^{1/3}$. Интересно бы сравнить с точным решением если кто-то захочет его доделать.

[amon]

physicsworks в сообщении #1452539 писал(а):

Интересно бы сравнить с точным решением если кто-то захочет его доделать.

Задачка эта (даже чуть более навороченная) с именно таким способом решения есть в книжке Т. Андо, А. Фаулер, Ф. Стерн Электронные свойства двумерных систем. Там решается задача об экранировании внешнего электрического поля вблизи поверхности полупроводника. Формально такая задачка очень похожа на Вашу.

[physicsworks]

amon, спасибо! посмотрю

-- 08.04.2020, 20:35 --

ну, это не удивительно, потенциал как раз подходящий для таких задач.

[g______d]

physicsworks в сообщении #1452539 писал(а):

Интересно бы сравнить с точным решением если кто-то захочет его доделать.

Нашёл в википедии:

https://ru.wikipedia.org/wiki/Треугольная_квантовая_яма

но не проверял и не пересчитывал одно в другое.

[physicsworks]

g______d, а, ну да, у Ландау получилось $(\xi_i/2^{1/3}) (mg^2 \hbar^2)^{1/3}$, где $\xi_i$ --- корни функций Эйри, первый из которых дает $\xi_1 \approx 2.338$, так что точный коэффициент $2.338/2^{1/3} \approx 1.86$ вместо приближённого $1.36$. Ну, и замечательно, ведь мы просто угадали волновую функцию.

Кстати, метод ВКБ для этой задачи дает $(81 \pi^2/128)^{1/3} \approx 1.84$, что совсем неплохо.