В сосуде какой формы уровень воды изменяется равномерно?

[starper]

Доброго времени суток! Помогите, пожалуйста, разобраться с такой задачей.
Скорость истечения воды через небольшое отверстие на дне сосуда вычисляется по формуле: $0,6\sqrt{2gh}$, где $g$ - ускорение силы тяжести, а $h$ - высота уровня воды над отверстием. Какую форму должен иметь сосуд, являющийся телом вращения, чтобы уровень воды в сосуде понижался равномерно?
Получается, нам дано, что $dV/dt = 0,6\sqrt{2gh(t)}$. Также очевидно, что $dV/dh = S(h)$, где $S$ - площадь поперечного сечения. Тогда $dh/dt = \frac{0,6\sqrt{2gh(t)}}{S(h(t))}$. Чтобы уровень воды падал равномерно надо, чтобы приращение это было постоянным, то есть $S = c(0,6\sqrt{2gh})$, где $c$ - постоянная.
Если этот сосуд - тело вращения, то получается, что площадь поперечного сечения равна $\pi r(h)^2$, то есть $S(h) = c(0,6\sqrt{2gh}) = \pi r(h)^2$. Но как понять что это за фигура?

[Утундрий]

starper в сообщении #1451291 писал(а):

Но как понять что это за фигура?

Чую начало обстоятельного философского спора о смысле слов "понять" и "как".

[Someone]

starper в сообщении #1451291 писал(а):

Но как понять что это за фигура?

Выразить $r$ через $h$ и построить график. Ось $Oh$ при этом расположить вертикально.

[starper]

Someone, спасибо, это оказалось просто)
На самом деле долго сидел с этой задачей, перебирая разные зависимости и поэтому есть сомнения, что ход решения верный, но вроде получилась фигура, похожая на половину песочных часов, интуитивно кажется что так и должно быть.
Но все же хочется точно узнать, правильно ли решил?

[provincialka]

starper
А как выглядит ваше решение? Каково его уравнение? Или название полученной фигуры? "фигура, похожая на половину песочных часов" -- это как-то неконкретно.

(Оффтоп)

есть такие слова, как "параболоид", "гиперболоид", "конус"... и другие всякие

[Утундрий]

starper в сообщении #1451291 писал(а):

$S(h) = c(0,6\sqrt{2gh}) = \pi r(h)^2$

Если выбросить лишнее и школьно переобозначить, то останется $y \propto x^4 $. Четвертичная парабола? Дважды парабола? Хм...

[Someone]

Утундрий в сообщении #1451360 писал(а):

Четвертичная парабола? Дважды парабола?

Парабола четвёртой степени. Вообще, графики многочленов называются параболами соответствующей степени. И не только они. Например, график уравнения $y^2=x^3$ называется полукубической параболой.

[Утундрий]

Someone в сообщении #1451361 писал(а):

график уравнения $y^2=x^3$

В принципе, этого достаточно.

[starper]

provincialka в сообщении #1451350 писал(а):

starper
А как выглядит ваше решение? Каково его уравнение? Или название полученной фигуры? "фигура, похожая на половину песочных часов" -- это как-то неконкретно.

Получается, что у нас зависимость вида $x=\frac{h^{1/4}}{C}$, значит отношение радиуса поперечного сечения к высоте должно быть $ \frac{x}{h}= \frac{h^{1/4}}{Ch}= \frac{1}{Ch^{3/4}}$. То есть $ \frac{(x^2+y^2)^{1/2}}{h} = \frac{1}{Ch^{3/4}}$ Таким образом $h = (x^2+y^2)^2$, верно?