задача по тригонометрии из всесоюзной олимпиады

[DmitryPh.D.]

Никак не пойму как её решить.

Доказать, что для любых вещественных $x$

$|\sin(x)|+|\sin(x+1)|+|\sin(x+2)|>8/5$

[nnosipov]

Попробуйте доказать, что локальные минимумы у этой функции должны быть в точках излома.

[DmitryPh.D.]

А школьники владели в СССР этими навыками? Это вообще как сделать то можно?

[nnosipov]

DmitryPh.D. в сообщении #1450945 писал(а):

А школьники владели в СССР этими навыками?

Если говорить формально, то да. Схема исследования функции на экстремум в учебнике Колмогорова была.

DmitryPh.D. в сообщении #1450945 писал(а):

Это вообще как сделать то можно?

Здесь мне надо еще самому додумать детали. Считайте, что это пока рабочая идея. Во всяком случае, истинный минимум $2\sin{1}$ легко находится средствами компьютерной алгебры.

Конечно, возможны и другие идеи.

Upd. Додумал детали: сумма выпуклых вверх горбушек может иметь только локальные максимумы (на интервалах между изломами). Так что да, локальные минимумы могут быть только в точках излома --- там, где один из синусов обращается в нуль.

[novichok2018]

А у модуля произведения можно найти минимум, чтобы по AG?
Нет, тут минимум ноль, извините за глупость.

[nnosipov]

Еще одна засада в том, что нужно доказывать неравенство $\sin{1}>4/5$. Для этого можно доказать, что $\sin{x}>x-x^3/6$ при $0<x<\pi/2$, что, в свою очередь, сведется к доказательству $\cos{x}>1-x^2/2$ и, наконец, к доказательству $\sin{x}<x$. Но вот это последнее уже должно быть в учебнике.

[novichok2018]

С максимумом этого выражения тоже интересно. Наверное, это задача из теории чисел, что икс может подойти как угодно близко сразу у трех синусов к их максимумам? Или нет?

-- 04.04.2020, 08:14 --

nnosipov - как я понял, Вы предложили первые два тригонометрических неравенства доказывать через производную. Тогда логично и третье доказать через производную, что сразу.

[nnosipov]

novichok2018 в сообщении #1451083 писал(а):

Или нет?

Нет, ведь функция-то периодическая. Вот было бы что-нибудь вроде $\sin{x}+\sin{(x\sqrt{2})}$, тогда да, без диофантовых приближений не обойтись.

novichok2018 в сообщении #1451083 писал(а):

Тогда логично и третье доказать через производную, что сразу.

Это немного мутная тема в том смысле, что надо быть аккуратным и при выводе формулы для производной не попользоваться этим самым неравенством.

[DmitryPh.D.]

nnosipov, Ваша помощь бесценна. Задача меня мучила несколько дней, в такой ситуации не вольно задавался вопросом: Какой же я тогда на хрен математик, если справиться с задачей не могу? Только после этого решил зарегистрироваться здесь на форуме.

Однако, еще один аспект остался. Можно ли построже как то протянуть мысль о том что в горбушках( или рядом с ними) максимумы, а в изломах тогда локальные и глобальный минимумы? Подозреваю, что здесь мы как то должны пользоваться непрерывностью и особенно периодичностью суммы трех модулей синусов. Каждый с периодом ПИ, а значит и их сумма имеет период ПИ.

[gris]

Интересно в выражение ввести параметр.
$|\sin(x)|+|\sin(x+a)|+|\sin(x+2a)|$
Ну и поиграть с количеством слагаемых.

[nnosipov]

DmitryPh.D. в сообщении #1451106 писал(а):

Подозреваю, что здесь мы как то должны пользоваться непрерывностью и особенно периодичностью суммы трех модулей синусов. Каждый с периодом ПИ, а значит и их сумма имеет период ПИ.

Конечно, периодичность важна --- она позволяет ограничиться рассмотрением функции лишь на отрезке $[0,2\pi]$. Непрерывность важна по умолчанию: она гарантирует существование экстремумов. Кроме концов, на этом отрезке еще пять точек излома. Они выписываются и в них легко вычисляются значения функции (всего-то два разных значения, которые легко сравниваются между собой). На каждом из интервалов между двумя последовательными точками излома наша функция гладкая и выпуклая вверх (как сумма таковых). Дальше начинается ловля блох: как обосновать то, что выпуклая вверх гладкая функция может в качестве локального экстремума иметь только максимум. В школьной математике такая ситуация встречается, когда в роли горбушек выступают куски парабол (и тогда я бы считал факт очевидным). Куски синусоид более экзотичны, здесь проще воспользоваться средствами "высшей математики" (вторая производная). Либо основательно поработать с определением выпуклой функции (см., например, соответствующий раздел в Приложении Г в книге "Зарубежные математические олимпиады", М., Наука, 1987, где приведен некий набор доступных фактов о выпуклых функциях). Вообще, уровень олимпиады (всесоюзная) позволяет считать, что школьники, участвующие в ней, знают и умеют больше, чем обычные.

Можете указать первоисточник задачи? Было бы любопытно взглянуть на оригинальное решение.

[DmitryPh.D.]

nnosipov, первоисточник вот

https://www.ozon.ru/context/detail/id/33801230/

Там задача №436, но она сформулирована там посложнее и чтоб ее автоматом решить, нужно доказать то, что я просил. Это там в указании к решению исходной задачи написано. Соответственно никакого решения там нет и здесь мы решали их указание.

[nnosipov]

DmitryPh.D.
Спасибо, нашел в более раннем издании. Ну, раз нет оригинального решения, будем считать, что мы ее решили

[DmitryPh.D.]

nnosipov, еще вопрос по доказательству

Вы пишите
Еще одна засада в том, что нужно доказывать неравенство $\sin{1}>4/5$. Для этого можно доказать, что $\sin{x}>x-x^3/6$ при $0<x<\pi/2$, что, в свою очередь, сведется к доказательству $\cos{x}>1-x^2/2$ и, наконец, к доказательству $\sin{x}<x$.

Во первых, думаю что отрезок можно взять от 0 до корня из 2, но давайте может быть еще остановимся на корректности дифференцирования исходного неравенства. Почему так можно переходить?
В обратную сторону вроде бы можно рассуждать, что если функции на указанном мною отрезке неотрицательны, то и для интегралов от них будет верно то же неравенство , что и для неотрицательных функций. А вот можно ли так лихо как Вы дифференцировать и никаких при этом оговорок не делать?

То что последнее неравенство верно - очевидно из графиков y=x и y=sin(x)

[nnosipov]

DmitryPh.D. в сообщении #1451481 писал(а):

А вот можно ли так лихо как Вы дифференцировать и никаких при этом оговорок не делать?

Имелось в виду следующее. Рассмотрим функцию $f(x)=\sin{x}-(x-x^3/6)$ на отрезке $[0,\pi/2]$. Имеем$f(0)=0$. Для доказательства положительности $f(x)$ достаточно доказать, что эта функция монотонно возрастает. Для этого, в свою очередь, достаточно доказать, что производная этой функции положительна, т.е. имеет место неравенство $\cos{x}>1-x^2/2$. К последнему неравенству применяем аналогичные рассуждения и приходим к необходимости доказывать неравенство $\sin{x}<x$.

DmitryPh.D. в сообщении #1451481 писал(а):

То что последнее неравенство верно - очевидно из графиков y=x и y=sin(x)

Нет, к графикам нельзя здесь апеллировать. Разумный вариант --- взять доказательство из школьного учебника. Но лучше этот сюжет не ворошить, поскольку иначе на каком-то этапе возникнет вопрос про что такое синус.