Изопериметрическая задача

[Juicer]

Здравствуйте!
Решаю задачу $J_0 = &\int_{0}^{1} (2y'^2 + yy')dx \rightarrow extr \\ &\begin{cases} y(0) = 0 \\ y(1) = 0 \\ \end{cases} \\ &\text{При условии:}\\ J_1 = &\int_0^1(yy'- 8xy')dx = 8.\\$
Будем для определённости искать минимум.
Составим лагранжиан $L:= J_0 + \lambda J_1:\\$

$$L = \int_{0}^{1} (2y'^2 + yy' + \lambda(yy' - 8xy'))dx \rightarrow \min$$

Выпишем уравнение Эйлера-Лагранжа для данного функционала $L: \\$

$$-\frac{d}{dx} (4y' + (1 + \lambda)y - 8x) + (1 + \lambda)y' = 0.$$

Далее получим

$$y'' - 2 = 0 \Rightarrow y = x^2 + C_2x + C_1,$$

И вот тут вопрос. В последнее уравнение не вошло число $\lambda$ - можно ли утверждать, что подойдёт любое $\lambda$?

Далее подставим начальные данные и тогда: $C_1 = 0; C_2 = -1.$

$$\Rightarrow \widetilde{y} = x^2 - x. \, \widetilde{y} - \text{ искомая экстремаль.}$$

Проверка условий.
$1.$ Проверим условие Лежандра: для этого нужно найти $L''_{y'y'}.$

$$L''_{y'y'}(\widetilde{y}) = 4 > 0 \, \forall x \in [0, 1], \Rightarrow \text{выполнено усиленное условие Лежандра}.$$

$2.$ Проверим условие Якоби: для этого нужно выписать уравнение вида

$$ -\frac{d}{dx}\bigl(L_{y'y'}(x)h'(x) + L_{y'y}(x)h(x)\bigr) + L_{yy'}(x)h'(x) + L_{yy}(x)h(x) + \mu g = 0,$$

где $g(x) = -\frac{d}{dx}{J_1}_{y'}(x) + {J_1}_y(x) .$
В нашем случае $g(x) = -\frac{d}{dx}(y - 8x) + y' = 8$

$$\Rightarrow - 4h''(x) + (1 + \lambda)h' + 8\mu = 0.$$

Собственно, здесь и начинаются вопросы(точнее, они появились уже на поиске экстремали).
1. Здесь остаётся $\lambda$. Получается, это будет параметр, который и оставлять до ответа? Или же можно подставить какое-то значение?
2. По алгоритму нам далее нужно найти сначала общее решение последнего уравнения с начальными данными $h_0(0) = 0, h'_0(0) = 1$, а затем и частное c начальными данными $h_1(0) = 0, h'_1(0) = 0$ . Чему тогда будет равно значение $\mu$ и как его найти в общем случае?

[teleglaz]

Juicer в сообщении #1450630 писал(а):

Выпишем уравнение Эйлера-Лагранжа для данного функционала $L: \\$

$$-\frac{d}{dx} (4y' + (1 + \lambda)y - 8x) + (1 + \lambda)y' = 0.$$

Это не есть правильно.

[Juicer]

конечно, как всегда, споткнулся о невнимательность:

$$-\frac{d}{dx} (4y' + (1 + \lambda)y - 8\lambda x) + (1 + \lambda)y' = 0.$$

Тогда из начальных условий найдём константы и $\lambda:$
$\begin{cases} C_1 = 0,\\ C_2 = 6,\\ \lambda = -6.\\ \end{cases}$
И в итоге искомая экстремаль $\widetilde{y} = -6x^2 + 6x.$ Значит, с $\lambda$ вопрос отпал - я просто могу подставить найденное численное значение, когда выпишу уравнение Якоби.
Тем не менее, остался второй вопрос - как же всё-таки найти значение $\mu?$

[teleglaz]

Juicer в сообщении #1450713 писал(а):

как же всё-таки найти значение $\mu$?

Никак.

Juicer в сообщении #1450630 писал(а):

По алгоритму нам далее нужно найти сначала общее решение последнего уравнения с начальными данными $h_0(0) = 0, h'_0(0) = 1$, а затем и частное c начальными данными $h_1(0) = 0, h'_1(0) = 0$ . Чему тогда будет равно значение $\mu$ и как его найти в общем случае?

Не так. Сначала надо решить однородное уравнение Якоби, то есть при $\mu=0$, c начальными условиями $h_0(0) = 0, h'_0(0) = 1$, а потом неоднородное уравнение Якоби, то есть при $\mu\neq0$, c начальными условиями $h_1(0) = 0, h'_1(0) = 0$.

[Juicer]

teleglaz в сообщении #1451134 писал(а):

Juicer в сообщении #1450713 писал(а):

как же всё-таки найти значение $\mu$?

Никак.

Juicer в сообщении #1450630 писал(а):

По алгоритму нам далее нужно найти сначала общее решение последнего уравнения с начальными данными $h_0(0) = 0, h'_0(0) = 1$, а затем и частное c начальными данными $h_1(0) = 0, h'_1(0) = 0$ . Чему тогда будет равно значение $\mu$ и как его найти в общем случае?

Не так. Сначала надо решить однородное уравнение Якоби, то есть при $\mu=0$, c начальными условиями $h_0(0) = 0, h'_0(0) = 1$, а потом неоднородное уравнение Якоби, то есть при $\mu\neq0$, c начальными условиями $h_1(0) = 0, h'_1(0) = 0$.

То есть, его можно оставить как параметр?
В тех примерах, что я видел, ему давалось какое-то значение(например, единица), а затем уравнение c $h$ решалось

[teleglaz]

Juicer в сообщении #1451153 писал(а):

То есть, его можно оставить как параметр?

Попробуйте. Мне видится, что в вашем случае это не сильно усложнит ДУ.
Подстановка конкретных значений на конечный вывод не повлияет.