Тривиальное следствие теоремы Цекендорфа

[Soul Friend]

Цитата из википедии:
" Теорема Цекендорфа гласит, что всякое натуральное число можно единственным образом представить в виде суммы одного или нескольких различных чисел Фибоначчи так, чтобы в этом представлении не оказалось двух соседних чисел из последовательности Фибоначчи "
До этого я сделал вывод что любое натуральное число можно выразить как:

$$n=\sum_{k}^{\infty}b_iF(2k)$$

где $b_i \in \{-1, 0, 1\}$ , $F(2k)$ - элемент последовательности Фибоначчи с чётным индексом. В поисках доказательства к этому, я наткнулся на теорему Цекендорфа, которая, как мне кажется, сделала это (доказательство) тривиальным следствием из себя.
Имея Цекендорфово представление (двоичным кодированием 0 и 1) какого либо натурального числа, можно также представить это число некоторой суммой или разницей элементов последовательности Фибоначчи с чётным индексом (кодированием -1, 0, 1).
Пример:
Имеем такое Цекендорфово представление числа $100=89+8+3$ где $89$ - элемент с нечётным индексом, её можно заменить на разницу двух её соседних элементов $89=144-55$,
для случая когда в Цекендорфовом представлении числа следуют подряд несколько соседних элементов с нечётным индексом, их можно также заменить : $\sum_{k}^{n}F(2k-1)=F(2n)-F(2k-2)$
Информации и ссылок по этой теме не нашёл, может кто писал об этом ранее ? Может, Фибоначчи в своей книге абака об этом писал ?
В общем, написал комментарий по этому поводу в https://oeis.org/draft/A001906, но там требуют ссылок, или доказательство.

[DeBill]

Soul Friend в сообщении #1449970 писал(а):

как мне кажется, сделала это (доказательство) тривиальным следствием из себя.

А почему - кажется? Ведь сделала же!
Но как дела с единственностью? $9=8+1=21-8-3-1$ ?

[Soul Friend]

DeBill в сообщении #1450027 писал(а):

Но как дела с единственностью? $9=8+1=21-8-3-1$ ?

Такого условия я не выдвигал. Единственности нет.

[Soul Friend]

Soul Friend в сообщении #1449970 писал(а):

В общем, написал комментарий по этому поводу в https://oeis.org/draft/A001906
, но там требуют ссылок, или доказательство.

N.J.A.Sloane: писал(а):

You say: "Every positive integer n can be represented as n = Sum_{k>=0} (b(i)*F(2*k)), where b(i) in {-1, 0, 1}." That sentence does not inspire confidence. Moving this to the editing stack.

Что мне требуется сделать я не понимают, переводится как "не внушает доверие". Но ведь далее есть попытка доказательства:

Цитата:

Every positive integer n can be represented as n = Sum_{k>=0} (b(i)*F(2*k)), where b(i) in {-1, 0, 1}. Trivial proof follows from the Zeckendorf's theorem. Having a Zeckendorf representation of any positive integer, you can also present this integer by sum or difference of some Fibonacci sequence elements with a even index. Example: We have such a Zeckendorf representation of the number 100=89+8+3 where 89 is an element with an odd index, it can be replaced by the difference of two neighboring elements 89=144-55, for the case when in the Zeckendorf representation of the integer are followed by several neighboard elements of Fibonacci sequence with an odd index, they can also be replaced: Sum_{k..n} F(2k-1) = F(2n) - F(2k-2) where k, n depends on the Zeckendorf representation. Example: 18=13+5, k=3, n=4, 18=21-3.