Кубическое уравнение

[Липин Сергей]

Задача: решить уравнение $x^3+12x-8=0$, зная один из его корней:
$x=\sqrt[3]{{4+\sqrt{80}}}-\sqrt[3]{{\sqrt{80}-4}}}.$
Как найти оптимальный путь решения?

[ИСН]

Знать такой корень - это всё равно, что его не знать. Ясно, что и остальные - уродцы того же вида.

[TOTAL]

А сколько остальных, которые искать?

[Липин Сергей]

TOTAL писал(а):

А сколько остальных, которые искать?

2 корня ещё надо найти

[TOTAL]

Липин Сергей писал(а):

TOTAL писал(а):

А сколько остальных, которые искать?

2 корня ещё надо найти

Среди комплексных тоже ищете?

[Липин Сергей]

TOTAL писал(а):

Липин Сергей писал(а):

TOTAL писал(а):

А сколько остальных, которые искать?

2 корня ещё надо найти

Среди комплексных тоже ищете?

нет. Задача для 10 класса

[TOTAL]

Липин Сергей писал(а):

Задача для 10 класса

Тогда подумайте над количеством действительных корней этого уравнения.

[Архипов]

Так данный корень - единственный действительный корень этого уравнения. Производная этой функции не показывает экстремумов - значит корень один.

[Неудачник]

В 10-ом классе вроде нет начал мат. анализа.
Может лучше показать, что $ D > 0 $?
P.S. $ D = 4b^3d - b^2c^2 + 4ac^3 - 18abcd + 27a^2d^2 $

[Липин Сергей]

Спасибо. В задаче разобрался.

[Sonic86]

Я как-то такими уравнениями увлекался.
Если есть целый корень - его находим среди делителей свободного члена - это вы знаете. Если такового нет - то все корни - такие же страшные, как и исходный.
Стандартные методы построения остальных корней тоже страшные - через комплексные числа, ну или тупо поделить на икс минус корень, а потом решать квадратное - тоже страшно

[Неудачник]

Цитата:

потом решать квадратное - тоже страшно

[Коровьев]

Кому это страшно

\[x_1= \sqrt[3]{{4 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{ - 4 + \sqrt {80} }} \]

,
то дальше смотреть не рекомендуется

\[x_2= \frac{{ - 1 + \sqrt { - 3} }} {2}\sqrt[3]{{4 + \sqrt {80} }} + \frac{{ - 1 - \sqrt { - 3} }} {2}\sqrt[3]{{ - 4 + \sqrt {80} }} \]

\[x_3= \frac{{ - 1 - \sqrt { - 3} }} {2}\sqrt[3]{{4 + \sqrt {80} }} + \frac{{ - 1 + \sqrt { - 3} }} {2}\sqrt[3]{{ - 4 + \sqrt {80} }} \]

[нг]

Липин Сергей
На форуме принято записывать формулы, используя нотацию ($\TeX$; введение, справка).

Использование картинок для формул не допускается.

Пожалуйста, исправьте и сообщите модератору (ЛС).

Я думаю, что подразумевается следующий путь: если дан корень $x_0$, мы можем разделить $x^3+12 x-8$ на $x-x_0$: получим квадратное уравнение, детерминант которого зело отрицательный.