Несобственные интегралы

[vladimashev]

Здравствуйте! Часто слышу от преподавателей, что несобственные интегралы первого рода и ряды - практически одно и то же, а потому можно применять необходимый признак сходимости рядов к интегралам (ну то есть подынтегральная функция должна стремится к 0 при аргументе, стремящемся к бесконечности). Однако я нашел контрпример - интеграл Френеля:

$$ $\int\limits_0^\infty \sin (x^2)dx$ $$

Он сходится, однако:

$$ \nexists\lim_{x\to\infty}\sin (x^2) $$

Получается, такой необходимый признак для интегралов не работает?

[Утундрий]

vladimashev в сообщении #1449382 писал(а):

я нашел контрпример

Не нашли, потому что

vladimashev в сообщении #1449382 писал(а):

подынтегральная функция должна стремится к 0 при аргументе, стремящемся к бесконечности

А синус никогда в подобном порочащем его поведении замечен не был.

[vladimashev]

Утундрий в сообщении #1449383 писал(а):

vladimashev в сообщении #1449382 писал(а):

я нашел контрпример

Не нашли, потому что

vladimashev в сообщении #1449382 писал(а):

подынтегральная функция должна стремится к 0 при аргументе, стремящемся к бесконечности

А синус никогда в подобном порочащем его поведении замечен не был.

Получается, говорить, что несобственные интегралы первого рода и ряды - это одно и то же, - неверно?

[Утундрий]

vladimashev в сообщении #1449386 писал(а):

Получается, говорить, что несобственные интегралы первого рода и ряды - это одно и то же, - неверно?

Тут не нужно грести всё, в чём торчит символ $\infty$ под одну гребёнку. Есть хорошие, годные несобственные интегралы - они одно и то же. А есть непойми-разбери-что вроде вышеприведенного.

[Munin]

Заменой $x=\sqrt{t}$ получается

$$\int\limits_0^\infty \sin(x^2)\,dx=\int\limits_0^\infty \sin(t)\,d(\sqrt{t})=\int\limits_0^\infty \dfrac{\,\sin(t)\,}{2\sqrt{t}}\,dt.$$

А уж как ведёт себя $\tfrac{\,\sin(t)\,}{2\sqrt{t}}$ при $t\to+\infty,$ смотрите сами.

[Утундрий]

Формально это уже другой интеграл.

[Otta]

vladimashev в сообщении #1449382 писал(а):

Часто слышу от преподавателей, что несобственные интегралы первого рода и ряды - практически одно и то же, а потому можно применять необходимый признак сходимости рядов к интегралам (ну то есть подынтегральная функция должна стремится к 0 при аргументе, стремящемся к бесконечности).

Нет такого признака для интегралов, и потому Вы не только не могли слышать это "можно" от преподавателей, обычно напротив: они отдельно подчеркивают, что нельзя, и приводят тот самый пример, который Вы нашли.

[Утундрий]

О, круто - я забыл матан.

(Оффтоп)

Пойду, полижу дверные ручки...

[Otta]

(Оффтоп)

Утундрий
Куда спешить...

[thething]

vladimashev
Верное утверждение такое: если сходится интеграл $\int\limits_{}^{\infty}f(x)dx$ и существует предел $\lim\limits_{x\to\infty}^{}f(x)$, то этот предел нулевой.

[Brukvalub]

vladimashev в сообщении #1449382 писал(а):

Часто слышу от преподавателей, что несобственные интегралы первого рода и ряды - практически одно и то же, а потому можно применять необходимый признак сходимости рядов к интегралам (ну то есть подынтегральная функция должна стремится к 0 при аргументе, стремящемся к бесконечности).

Достаточно понять, что, изменив значение подынтегральной функции в натуральных точках, мы не испортим значение сходящегося несобств. интеграла 1-го рода, и тогда можно испортить любую функцию бесконечно большой последовательностью.