Решения интегральных уравнений

[programist]

Найти все функции $f \in L^{2}_{loc}$(т.е. измеримые вещественные функции на плоскости, интегрируемые с квадратом по любому ограниченному множеству) такие, что для всякой гладкой функции $\varphi$ с компактным носителем выполняется:

а)$\iint\limits_{\mathcall{R}^2}f (\varphi_{tt} - \varphi_{xx} - \varphi) dx dt = 0$
б)$\iint\limits_{\mathcall{R}^2}f (\varphi_{tt} - \varphi_{xx} - f\varphi)dx dt = 0$

Возможно полезные соображения : заменой координат (поворотной гомотетией $(x, y) \to (x-y, x+y)$) задачи сводятся к нахождению решений таких уравнений :
а')$\iint\limits_{\mathcall{R}^2}f (\varphi_{tx} - \varphi) dx dt = 0$
б')$\iint\limits_{\mathcall{R}^2}f\varphi_{tx} - f^2\varphi dx dt = 0$

В б) предполагается что ненулевых (не являющихся равными нулю почти всюду) решений нет, но доказать удаётся только что нету ненулевых суммируемых или суммируемых с квадратом решений : идейно выбираем достаточно большой квадрат, такой что по нему интеграл большой, а по всему остальному - маленький, далее рассматриваем функции $\varphi $ равные единице на квадрате и далее "убывающие" к нулю, делая их всё более медленно убывающими добьёмся того что $\iint\limits_{\mathcall{R}^2}f \varphi_{tx}$ будет очень маленьким, ведь в вертикальных и горизонтальных полосах содержащих квадрат он нулевой, а интеграл по внешней части от $f$ маленький, (если интеграл от квадрата то выручает неравенство Коши-Буняковского)....

с а) вообще не понятно что делать...

[DeBill]

programist
Т.е., надо найти все обобщенные (локально интегрируемые) решения соответствующих уравнений в частных производных, да?

[programist]

Я не уверен, кажется можно так переформулировать, мы ищем конкретно вещественные функции (с точностью до множества меры 0), а не абстрактные элементы пространства обобщённых функций.

[Утундрий]

programist в сообщении #1449296 писал(а):

Найти все функции $f \in L^{2}_{loc}$(т.е. измеримые вещественные функции на плоскости, интегрируемые с квадратом по любому ограниченному множеству) такие, что для всякой гладкой функции $\varphi$ с компактным носителем выполняется...

Это такой сложный способ сказать "гладкие"?

[programist]

Утундрий, функции $ \varphi$ - гладкие, носитель которых компактен, а ищем мы функции $f$ не обязательно гладкие, и даже не обязательно непрерывные.

[Утундрий]

programist
Что-то не вытанцовывается сюжет. Давайте начнём с а), там хоть какой-то физ.-смысл просматривается. Для начала, что имеется в виду: умножение $f$ на невязку или взятие функции $f$ от невязки?

[programist]

Утундрий, $f$ и $\varphi$ функции двух переменных, я их назвал функциями на плоскости, имеется в виду умножение.

[Утундрий]

programist в сообщении #1449395 писал(а):

имеется в виду умножение

Ну, тогда я вообще ничего не понимаю.

programist в сообщении #1449395 писал(а):

Утундрий

Это пишется так:

[b][color=#3333FF]Утундрий[/color][/b]

Достигается кликом по никнейму над аватаркой. Тогда белочка звонит в колокольчик и мне видно, что кто-то меня помянул незлим тихим словом.

[programist]

Утундрий
Задача найти все измеримые функции $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R},$ локально интегрируемые с квадратом такие, что для всякой $\varphi \in C^{\infty}_{c}(\mathbb{R}^2})$ выполняются указанные равенства, индексы под $\varphi$ обозначают частные производные второго порядка по соответствующим переменным.

[DeBill]

programist в сообщении #1449384 писал(а):

Я не уверен, кажется можно так переформулировать,

Посмотрите, что есть обобщенные функции, обобщенные производные и регулярные обобщенные функции - и вы увидите, что задача а) есть в точности задача об обобщенных решениях урвынения $f_{tt}= f_{xx}+f$.
(К тому же уравнению Вы могли бы прийти просто интегрируя исходное пару раз по частям).
Частные решения есть, например, такие: $f=e^t$. Кучу решений можно получить методом разделения переменных.
Но вот вопрос - все ли (обобщенные) решения мы получим, рассматривая линейные комбинации найденных - это - да, это - вопрос...
И с задачей б) - совсем плохо, да.