аналитическое продолжение

[_Dmitry_]

По каким критериям можно установить наличие у функции комплексного переменного аналитического продолжения?

[Brukvalub]

Например, проверив для функции возможность ее продолжения вдоль путей. Вообще говоря, вопрос задан в слишком общей форме, поэтому дать на него простой и конкретный ответ трудно.

[Sonic86]

Я тоже по книжкам просмотрел - в общем мало что есть.
В основном 2 способа (сам я ими не пользовался - просто понимаю):
1. Продолжение за счет разложений в ряды Лорана (по кольцам).
2. Различные функциональные уравнения, где возможно построить такое выражение в одной части, область определения которого шире чем у исследуемой функции, стоящей в другой части (дзета-функция Римана, гамма-функция).
Где-то в Инете напоролся на статью, что можно продолжать все функции, заданные гипергеометрическими членами, но потерял Ниче не могу сказать.

[_Dmitry_]

Поконкретнее.

Есть функция действительного переменного, определенная на оси x. Нужно доказать возможность ее аналитического продолжения в полосу {z=x+iy | x,y in R, |y|<h }, путем замены действительно переменной x на комплексную z. Каким требованиям должна удовлетворять исходная функция? Непрерывна, аналитична ...?

[Jnrty]

_Dmitry_, Вы далеко не первый день на форуме, и давно должны были заметить, что формулы здесь пишутся с использованием \TeXа. Вы же, несмотря на это, продолжаете нарушать правила. Прочтите, пожалуйста, http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=8355 и http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=183, и постарайтесь более правил не нарушать.

P.S. Вот здесь Вы использовали \TeX, однако не совсем корректно. Формулы следует окружать знаками доллара (одиночными или двойными).

Ваша формула записывается так: $\{z=x+iy|x,y\in\mathbb R,|y|<h\}$.

$\{z=x+iy|x,y\in\mathbb R,|y|<h\}$

[worm2]

_Dmitry_ писал(а):

Каким требованиям должна удовлетворять исходная функция? Непрерывна, аналитична ...?

Аналитична должна быть однозначно, причём в каждой точке радиус сходимости ряда Тейлора должен быть не меньше h.

[Шариков]

Присоединяюсь к вопросу. В моём случае интересна возможность продолжения с полуоси x>a>0 в угол комплексной плоскости с данной полуосью в качестве биссектрисы, отделённом от нуля. Является ли критерием возможности такого продолжения и выполнения оценки О(exp[-p*lnx]), где p>1, следующее - производные n-го порядка по модулю меньше exp[(n+1)*lnB+n*ln(n)-(n+p)*lnx], где В - некоторая константа?

[AD]

_Dmitry_ в сообщении #118826 писал(а):

Нужно доказать возможность ее аналитического продолжения в полосу {z=x+iy | x,y in R, |y|<h }

worm2 в сообщении #118957 писал(а):

Аналитична должна быть однозначно, причём в каждой точке радиус сходимости ряда Тейлора должен быть не меньше h.

И этого, между прочим, даже достаточно