Преобразование Вигнера

[Gickle]

Решаю одну задачку по физике и наткнулся на следующую проблему. Имеется следующее выражение:

$$F(t,t') = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d} t_1 \mathrm{d} t_2 A(t,t_1) B(t_2,t_1) C(t_1,t_2) D(t_1,t'), \eqno (1)$$

где $A, B, C$ и $D$ -- некоторые хорошие функции (ну, как обычно бывает у физиков, в общем). В дальнейшем для краткости я буду использовать стандартное обозначение $\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d} t \equiv \int_t.$ Введём такие координаты

$$T = \frac{t+t'}{2}, \quad s = t - t', \quad T_{12} = \frac{t_1 + t_2}{2}, \quad s_{12} = t_1 - t_2, \eqno (2)$$

так что $F(t,t') = F(T + s/2,T - s/2)$ и так далее. Определим теперь такое преобразование $\mathcal{W}$ (в физике его часто называют преобразованием Вигнера; в математике, если не ошибаюсь, -- тоже):

$$\mathcal{W}[F](T,\omega) = \hat{F}(T,\omega) = \int_s F(T + s/2,T - s/2) \,\mathrm{e}^{i\omega s}. \eqno (3)$$

Обратное преобразование ($2\pi$ ниже неявно подразумевается):

$$F(t,t') \equiv F(T + s/2,T - s/2) = \int_{\omega} \hat{F}\left(\frac{t + t'}{2},\omega\right) \, \mathrm{e}^{-i \omega(t - t')}. \eqno (4)$$

Далее кепку для краткости буду опускать. Вопрос заключается в том, можно ли какой-то в более-менее приличной форме выразить $F(T,\omega)$ через преобразования Вигнера $A,B,C,D$?

Итак, по определению,

$$F(T,\omega) = \int_{t_1,t_2,s} A(T + s/2,t_1) B(t_2,t_1) C(t_1,t_2) D(t_1,T - s/2) \,\mathrm{e}^{i \omega s}. \eqno (5)$$

Используя (4), имеем

$$\begin{align} F(T,\omega) &= \int_{\substack{t_1,t_2,s \\ \Omega,\Omega_1,\Omega_2,\Omega'}} A\left(\frac{T + s/2 + t_1}{2}, \Omega\right) B\left(\frac{t_1 + t_2}{2},\Omega_1\right) C\left(\frac{t_1+t_2}{2},\Omega_2\right) D\left(\frac{T - s/2 + t_1}{2},\Omega'\right)\nonumber \\ &\times \exp \left[i \omega s - i \Omega \left(T + s/2 - t_1\right) - i \Omega_1 \left(t_2 - t_1\right) - i \Omega_2 \left(t_1 - t_2\right) - i \Omega' \left(t_1 - T + s/2\right) \right] \end{align} \eqno (6)$$

Вот тут, по идее, я ожидал бы какую-то замену переменных интегрирования, так что в итоге "два куска экспоненты" дадут соответствующие дельта-функции, а семь интегралов в (6) сведутся к исходным трём, как в (5). Но хоть убей, не вижу такой замены переменных. И подозреваю, что такой замены переменных и нет. На эту мысль наводит ещё и то, что преобразование Вигнера от свёртки двух функций не является произведением преобразований Вигнера. А именно:

$$\mathcal{W}\left[A \circ B\right](T,\omega) = \exp(i \diamond) A(T,\omega) B(T,\omega) \eqno (7)$$

Здесь

$$\left(A \circ B\right)(t,t') = \int_{t_1} A(t,t_1) B(t_1,t') \eqno (8)$$

и

$$\diamond A(T,\omega) B(t,\omega) = \frac{1}{2}\left[\partial_{\omega} A(T,\omega) \partial_T B(T,\omega) - \partial_T A(T,\omega) \partial_{\omega} B(T,\omega)\right] = \frac{1}{2} \left\lbrace A, B \right\rbrace_{\mathrm{PB}} \eqno (9)$$

То есть, вероятно, конечное выражение для $F(T,\omega)$ в терминах преобразований Вигнера $A, B, C, D$ будет несколько хитрее и будет включать в себя операторы $\diamond$ в подынтегральном выражении. Что меня, по сути, тоже устривает, но я всё равно не вижу, как к этому свести. Буду благодарен за любую помощь.

P.S. Небольшой дополнительный глупый вопрос. Вот пусть имеется некоторый двойной интеграл такого вида $I = \int_{t_1,t_2} f(t_1,t_2)$. Если я захочу теперь сделать замену переменных $(t_1,t_2) \to (T_{12},s_{12}),$ так что область интегрирования при этом $\mathbb{R}^2 \to D,$ где D выглядит как-то так. Тогда, как понимаю,

$$I = \lim_{\tau\to\infty} \left[\int_{-\tau}^{0} \mathrm{d} T_{12} \int_{-2(T_{12} + \tau)}^{2(T_{12} + \tau)} \mathrm{d} s_{12} f\left(\ldots\right) + \int_{0}^{\tau} \mathrm{d} T_{12} \int_{2(T_{12} - \tau)}^{-2(T_{12} - \tau)} \mathrm{d} s_{12} f\left(\ldots\right) \right] \quad ?$$

К более приятной форме эту запись привести нельзя, как понимаю?

[Gickle]

Чтобы тему закрыть, напишу, что разобрался с вопросом.

Используя (7) из стартового поста, легко показать, что

$$F(t,t') = \int_{t_1,t_2} A(t,t_1)H(t_1)D(t_1,t') \implies F(T,\omega) = A(T,\omega) \star H(T) \star D(T,\omega),$$

где

$$\star = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\overleftarrow{\partial}_{\omega} \overrightarrow{\partial}_T - \overleftarrow{\partial}_T \overrightarrow{\partial}_{\omega}\right)/2}$$

есть произведение Мояля (тот самый ромбик в стартовом посте).

Кроме того,

$$H(T) = \int_{t_2} B(t_2,T) C(T,t_2) = \int_{\Omega} C(T,\Omega) \star B(T,\Omega),$$

так что

$$F(T,\omega) = \int_{\Omega} A(T,\omega) \star C(T,\Omega) \star B(T,\Omega) \star D(T,\omega),$$

если не ошибся нигде.