2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Преобразование Вигнера
Сообщение25.03.2020, 18:27 
Заслуженный участник


29/12/14
504
Решаю одну задачку по физике и наткнулся на следующую проблему. Имеется следующее выражение:
$$F(t,t') = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}  \mathrm{d} t_1 \mathrm{d} t_2 A(t,t_1) B(t_2,t_1) C(t_1,t_2) D(t_1,t'), \eqno (1)$$ где $A, B, C$ и $D$ -- некоторые хорошие функции (ну, как обычно бывает у физиков, в общем). В дальнейшем для краткости я буду использовать стандартное обозначение $\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d} t \equiv \int_t.$ Введём такие координаты
$$T = \frac{t+t'}{2}, \quad s = t - t', \quad T_{12} = \frac{t_1 + t_2}{2}, \quad s_{12} = t_1 - t_2, \eqno (2)$$ так что $F(t,t') = F(T + s/2,T - s/2)$ и так далее. Определим теперь такое преобразование $\mathcal{W}$ (в физике его часто называют преобразованием Вигнера; в математике, если не ошибаюсь, -- тоже):
$$\mathcal{W}[F](T,\omega) = \hat{F}(T,\omega) = \int_s F(T + s/2,T - s/2)  \,\mathrm{e}^{i\omega s}. \eqno (3)$$ Обратное преобразование ($2\pi$ ниже неявно подразумевается):
$$F(t,t') \equiv F(T + s/2,T - s/2) = \int_{\omega} \hat{F}\left(\frac{t + t'}{2},\omega\right) \, \mathrm{e}^{-i \omega(t - t')}. \eqno (4)$$ Далее кепку для краткости буду опускать. Вопрос заключается в том, можно ли какой-то в более-менее приличной форме выразить $F(T,\omega)$ через преобразования Вигнера $A,B,C,D$?

Итак, по определению,
$$F(T,\omega) = \int_{t_1,t_2,s} A(T + s/2,t_1) B(t_2,t_1) C(t_1,t_2) D(t_1,T - s/2) \,\mathrm{e}^{i \omega s}. \eqno (5)$$ Используя (4), имеем
$$\begin{align}
F(T,\omega) &= \int_{\substack{t_1,t_2,s \\ \Omega,\Omega_1,\Omega_2,\Omega'}} A\left(\frac{T + s/2 + t_1}{2}, \Omega\right) B\left(\frac{t_1 + t_2}{2},\Omega_1\right) C\left(\frac{t_1+t_2}{2},\Omega_2\right) D\left(\frac{T - s/2 + t_1}{2},\Omega'\right)\nonumber \\
&\times \exp \left[i \omega s - i \Omega \left(T + s/2 - t_1\right) - i \Omega_1 \left(t_2 - t_1\right) - i \Omega_2 \left(t_1 - t_2\right) - i \Omega' \left(t_1 - T + s/2\right) \right] \end{align} \eqno (6)$$ Вот тут, по идее, я ожидал бы какую-то замену переменных интегрирования, так что в итоге "два куска экспоненты" дадут соответствующие дельта-функции, а семь интегралов в (6) сведутся к исходным трём, как в (5). Но хоть убей, не вижу такой замены переменных. И подозреваю, что такой замены переменных и нет. На эту мысль наводит ещё и то, что преобразование Вигнера от свёртки двух функций не является произведением преобразований Вигнера. А именно:
$$\mathcal{W}\left[A \circ B\right](T,\omega) = \exp(i \diamond) A(T,\omega) B(T,\omega) \eqno (7)$$ Здесь
$$\left(A \circ B\right)(t,t') = \int_{t_1} A(t,t_1) B(t_1,t') \eqno (8)$$ и
$$\diamond A(T,\omega) B(t,\omega) = \frac{1}{2}\left[\partial_{\omega} A(T,\omega) \partial_T B(T,\omega) - \partial_T A(T,\omega) \partial_{\omega} B(T,\omega)\right] = \frac{1}{2} \left\lbrace A, B \right\rbrace_{\mathrm{PB}} \eqno (9)$$ То есть, вероятно, конечное выражение для $F(T,\omega)$ в терминах преобразований Вигнера $A, B, C, D$ будет несколько хитрее и будет включать в себя операторы $\diamond$ в подынтегральном выражении. Что меня, по сути, тоже устривает, но я всё равно не вижу, как к этому свести. Буду благодарен за любую помощь.

P.S. Небольшой дополнительный глупый вопрос. Вот пусть имеется некоторый двойной интеграл такого вида $I = \int_{t_1,t_2} f(t_1,t_2)$. Если я захочу теперь сделать замену переменных $(t_1,t_2) \to (T_{12},s_{12}),$ так что область интегрирования при этом $\mathbb{R}^2 \to D,$ где D выглядит как-то так. Тогда, как понимаю,
$$I = \lim_{\tau\to\infty} \left[\int_{-\tau}^{0} \mathrm{d} T_{12} \int_{-2(T_{12} + \tau)}^{2(T_{12} + \tau)} \mathrm{d} s_{12} f\left(\ldots\right) + \int_{0}^{\tau} \mathrm{d} T_{12} \int_{2(T_{12} - \tau)}^{-2(T_{12} - \tau)} \mathrm{d} s_{12} f\left(\ldots\right) \right] \quad ?$$
К более приятной форме эту запись привести нельзя, как понимаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование Вигнера
Сообщение03.04.2020, 15:44 
Заслуженный участник


29/12/14
504
Чтобы тему закрыть, напишу, что разобрался с вопросом.

Используя (7) из стартового поста, легко показать, что $$F(t,t') = \int_{t_1,t_2} A(t,t_1)H(t_1)D(t_1,t') \implies F(T,\omega) = A(T,\omega) \star H(T) \star D(T,\omega),$$ где $$\star = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\overleftarrow{\partial}_{\omega} \overrightarrow{\partial}_T - \overleftarrow{\partial}_T \overrightarrow{\partial}_{\omega}\right)/2}$$ есть произведение Мояля (тот самый ромбик в стартовом посте).

Кроме того, $$H(T) = \int_{t_2} B(t_2,T) C(T,t_2) = \int_{\Omega} C(T,\Omega) \star B(T,\Omega),$$ так что
$$F(T,\omega) = \int_{\Omega} A(T,\omega) \star C(T,\Omega) \star B(T,\Omega) \star D(T,\omega),$$ если не ошибся нигде.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group