2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Обратная задача теплопроводности
Сообщение24.03.2020, 23:29 
Аватара пользователя


28/01/12
112
Здравствуйте.
Хочу решить обратную задачу теплопроводности - восстановление плотности теплового потока, по измеренным значениям температуры.

Формулировка задачи: Полубесконечное тело в начальный момент времени находится при температуре $T_0$, затем включается тепловой поток $q(t)$, $q(0)=0$. Распределение температуры $T(0,t)$ — известно. Найти плотность теплового потока, когда:
Изображение
а) $T(0,t)$ — задана аналитически
б) $T(0,t)$ — задана дискретно в моменты времени $t_i$. Оценить плотность теплового потока идущего на полубесконечное тело, считая что тело не прогревается вглубь, по $x$
в) $T(0,t)$ — задана дискретно в моменты времени $t_i$. Оценить плотность теплового потока идущего на полубесконечное тело, и распределение температуры по $x$ в моменты времени $t_i$.

Собственно решение:
Для случая а) — Решение для полубесконечного тела при $x=0$ выглядит, согласно Карслоу и Егеру:
$T(t)=T_0+\frac {1} {\sqrt{K \pi \rho C_p}} \int\limits_0^{t}\frac {q(\tau)} {\sqrt {t - \tau}} {d \tau} $, где
$K$ — теплопроводность, $C_p$ — теплоёмкость, $\rho$ — плотность материла, из которого сделано полубесконечное тело.
применяя преобразование Лапласса можно получить формулу для расчёта плотности теплового потока:
$q(t)=q(0)+\frac {\sqrt{K \pi \rho C_p}} {\pi} \int\limits_0^{t}\frac {\frac {d {T(\tau)}} {d {\tau}}} {\sqrt {t - \tau}} {d \tau} $

Вопрос состоит в том, как поступить в случае б), если известно что $T_i[t_i]$ — немонотонная? — Насколько я понимаю, можно, в принципе, не решать обратная задачу, коль скоро задана температура поверхности $T(0,t)$, то её можно представить как граничное условие Дирихле и решать задачу, например, методом конечных элементов — так ли это?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратная задача теплопроводности
Сообщение30.03.2020, 11:23 


30/03/20
1
Babeuf, Ваше предположение не совсем верно. Свести описываемую задачу к задаче Дирихле невозможно. Дело в том, что задача Дирихле - для стационарных(!), т.е. не зависящих от времени эллиптических уравнений, тогда как Ваша задача описывается параболическим уравнением теплопроводности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратная задача теплопроводности
Сообщение02.04.2020, 19:43 
Аватара пользователя


28/01/12
112
Utkonos в сообщении #1449454 писал(а):
Babeuf, Ваше предположение не совсем верно. Свести описываемую задачу к задаче Дирихле невозможно. Дело в том, что задача Дирихле - для стационарных(!), т.е. не зависящих от времени эллиптических уравнений, тогда как Ваша задача описывается параболическим уравнением теплопроводности.

Спасибо за ответ!

Я смог решить задачу для случая б) по оценке плотности теплового потока. Для этого использовал численную аппроксимации и коэффициенты чувствительности, подробное описание такого подхода нашел в книги Дж. Бека "Некорректные обратные задачи теплопроводности". Разумеется, как и предупреждал автор, я столкнулся с тем, что подобное решение крайне чувствительно к погрешностям измерений.

С этой напастью тоже удалось побороться с помощью алгоритма последовательного оценивания значений $q_i$ (т.е. значений плотности теплового потока в определённый момент) с использованием сингулярного разложения матрицы коэффициентов чувствительности ("Sequential SVD algorithm").

Однако, возникла новая проблема. Дело в том, что в подобных алгоритмах $q$ оценивается не в момент времени измерений температуры, назовём их $t_i$. А в промежутке между ними, назовем их $\tau_j$, т.е. $t_1<\tau_1<t_2$ , $t_2<\tau_2<t_3$, и т.д.
Короче говоря, вопрос в следующем: есть ли какой-нибудь способ выбора оптимального расположения $\tau_j$ на отрезке $[t_i,t_i+1]$?
Например, я использовал расположение $\tau_j$ посередине, но эмпирически выяснил, что для моей модельной задачи результат будет лучше, если сдвинуть $\tau_j$ ближе $t_i+1$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group