Сходимость самосопряженных обратимых операторов

[demolishka]

Пусть задана $P_{n} \colon \mathbb{H} \to \mathbb{H}$ последовательность ограниченных самосопряженных обратимых операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве $\mathbb{H}$, которая поточечно (в сильной операторной топологии) сходится к такому же оператору $P$. Предположим, что нормы обратных операторов $P^{-1}_{n}$ равномерно ограничены. Верно ли, что $P^{-1}_{n}$ тоже сходится к $P^{-1}$ в сильной операторной топологии?

Я умею доказывать только слабую сходимость $P^{-1}_{n}$ к $P^{-1}$. Про сильную - не получается.

[Slav-27]

$|P_n^{-1}x-P^{-1}x|=|P_n^{-1}(x-P_nP^{-1}x)|\leqslant C|x-P_nP^{-1}x|...$

[demolishka]

Slav-27, спасибо. Опять я намудрил