Векторное уравнение окружности

[misha.physics]

Здравствуйте. Обнаружил интересную вещь при попытке решения следующей задачи.

Пусть $\boldsymbol{r}$ есть радиус-вектор точки в плоскости. Какая кривая выражается уравнением $\boldsymbol{r}\cdot(\boldsymbol{r}-2\boldsymbol{a})=0$? Какое свойство этой кривой вытекает непосредственно из только что написанного уравнения кривой?

Ответ: Окружность; вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, есть прямой.

С помощью построения я убедился, что мы действительно можем получить окружность

(Рис. 1)

Все точки лежат в плоскости $yz$. Здесь роль радиус-вектора $\boldsymbol{r}$ играет вектор $\overrightarrow{OM}$, также $\overrightarrow{MN}=-2\boldsymbol{a}$ и угол между штриховыми прямыми прямой. Если радиус-вектор $\overrightarrow{OM}$ вращать вокруг оси $z$, то его конец опишет окружность (нарисовано). Также показано возможность существования другой окружности (не нарисовано). Значит, когда в начале условия задачи говорится, что $\boldsymbol{r}$ есть радиус-вектор точки в плоскости, то это нужно для того, чтобы мы не получили сразу бесконечное множество окружностей, а ограничились только одной, лежащей в данной плоскости, в той, о которой говорится в начале условия задачи. Тогда ответом на первый вопрос задачи будет: окружность, лежащая в данной плоскости. Если же первое предложение из условия задачи выбросить, то ответом будет: множество разных окружностей. Подскажите, пожалуйста, правильно ли я понял наличие первого предложения в условии задачи?

Потом я решил нарисовать больше точек, аналогичных $M$ и $M'$ и получил

(Рис. 2)

Эти точки показаны точками. (Здесь они нарисованы в плоскости $xy$ а не $yz$.) Прослеживается, что они лежат на окружности. Сначала мне это показалось неожиданным, но позже я понял, что этот случай тоже удовлетворяет условию задачи. Рисунки я рисовал (и в итоге ограничился только одним "вариантом" вектора $\boldsymbol{a}$), потому что не знаю пока, как решить эту задачу "в общем виде". Из исходного уравнения я могу сделать вывод, что или два вектора-сомножителя перпендикулярны между собой, либо один из них равен нулю, либо - оба. Есть расплывчатая идея взять ещё какую-то конструкцию векторов и использовать их вместе с данным уравнением, но конкретного пока ничего в голову не приходит. Буду рад, если вы подтолкнете меня в нужном направлении, чтобы я в результате смог сам прийти к ответу. Второй вопрос задачи пока можно отложить. Там у меня ещё меньше идей :)

[Утундрий]

Перенесите хвост радиус-вектора в точку $\boldsymbol{a}$.

[misha.physics]

Утундрий, это для первого вопроса задачи? Насколько я вас понял, точка $\boldsymbol{a}$ задается радиус-вектором $\boldsymbol{a}$, но тогда если конец радиус-вектора $\boldsymbol{r}$ будет в точке $\boldsymbol{a}$, то векторы $\boldsymbol{r}$ и $\boldsymbol{a}$ совпадут. Но такая конфигурация не удовлетворяет уравнению из условия задачи. Значит я неправильно вас понял.

[Утундрий]

Подумайте пока над смыслом слов "перенести начало координат в другую точку".

[Munin]

Алгебру немножко вспоминаем, да? $r(r-2a)=r^2-2ar=r^2-2ar+a^2-a^2=(r-a)^2-a^2.$ Теперь тоже самое с векторами. И пошевелить извилинами над результатом.

-- 23.03.2020 00:54:43 --

misha.physics в сообщении #1446394 писал(а):

Если же первое предложение из условия задачи выбросить, то ответом будет: множество разных окружностей.

Не-а.

misha.physics в сообщении #1446394 писал(а):

Сначала мне это показалось неожиданным, но позже я понял, что этот случай тоже удовлетворяет условию задачи.

Только он и.

misha.physics в сообщении #1446394 писал(а):

Из исходного уравнения я могу сделать вывод, что или два вектора-сомножителя перпендикулярны между собой

Это основной.

-- 23.03.2020 00:57:58 --

Первое предложение означает, что задача 2-мерна. Если задать тот же вопрос в 3-мерном случае, то получится не окружность, а сфера. В 4-мерном случае - 3-сфера, и так далее.

[misha.physics]

Munin, да, точно. Условие задачи эквивалентно $|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{a}|=a$.

(Рис. 3)

Отсюда сразу очевиден второй ответ задачи

(Рис. 4)

Munin в сообщении #1446402 писал(а):

Только он и.

Значит неявно подразумевается также, что и вектор $\boldsymbol{a}$ лежит в той же плоскости, что и радиус-вектор $\boldsymbol{r}$ точки. В противном случае, если разрешить вектору $\boldsymbol{a}$ произвольную структуру, то станут возможными окружности, изображенные на Рис. 1 и, следовательно, будет множество окружностей, да?

Утундрий,

Утундрий в сообщении #1446401 писал(а):

Подумайте пока над смыслом слов "перенести начало координат в другую точку".

С переносом понял. Значит в

Утундрий в сообщении #1446397 писал(а):

Перенесите хвост радиус-вектора в точку $\boldsymbol{a}$.

вы имели ввиду перенести начало вектора $\boldsymbol{r}-\boldsymbol{a}$ в точку $\boldsymbol{a}$? Я под "хвостом" вектора понял, что это конец вектора, но это начало, да?

-- 23 мар 2020, 01:25 --

Munin, а, понял, первое предложение говорит, что мы находимся на плоскости и об высших размерностях пространства ничего не знаем.

[Munin]

А, я понял, как вы неудачно прочитали условия!

misha.physics в сообщении #1446394 писал(а):

Цитата:

Пусть $\boldsymbol{r}$ есть радиус-вектор точки в плоскости.

То есть, вы подумали, что есть плоскость (неуказанная) в пространстве, и $\boldsymbol{r}$ - радиус-вектор, пробегающий значения только в ней.

Да, тогда ваше рассуждение становится верным, хотя это и сильно сложно. (Можете разобрать, что в пространстве уравнение $\boldsymbol{r}\cdot(\boldsymbol{r}-2\boldsymbol{a})=0$ задаёт сферу, и тогда ограничивая задачу на плоскость, мы получаем пересечение этой сферы с этой плоскостью. Всегда будет окружность.)

misha.physics в сообщении #1446411 писал(а):

Я под "хвостом" вектора понял, что это конец вектора, но это начало, да?

Видимо, по ассоциации с "хвостик стрелки" и "кончик стрелки".

[misha.physics]

Munin в сообщении #1446413 писал(а):

есть плоскость (неуказанная) в пространстве, и $\boldsymbol{r}$ - радиус-вектор, пробегающий значения только в ней

Да, именно точно так я и подумал.

Munin в сообщении #1446413 писал(а):

Видимо, по ассоциации с "хвостик стрелки" и "кончик стрелки".

Я представил себе чей-то острый хвостик (животного) и ассоциировал его с острым копьём, наконечником вектора, т.е. с его концом.

[Утундрий]

(Оффтоп)

misha.physics в сообщении #1446414 писал(а):

Я представил себе чей-то острый хвостик (животного) и ассоциировал его с острым копьём, наконечником вектора, т.е. с его концом.

Да, это ещё надо уметь. Перепутать голову и ж...