Рациональна ли кривая 2*x^2*y^2+x^2+8*x*y+2*y^2+1=0

[Volik]

Доброго дня всем! График кривой $2x^2y^2+x^2+8 y+2y^2+1=0$ представляет собой две одинаковые гладкие замкнутые кривые в квадрантах $(x>0,y<0)$ и $(x<0,y>0)$. Очевидно, что если найти одну рациональную точку, то можно найти и все остальные. То есть, это или рациональная кривая, или иррациональная.
Не найдя рациональной точки я попытался описать все точки проводя секущие $y = 1+\sqrt{2}/2-(p+\sqrt{2}q)(x+1)$. Но, полагая рациональными $(x,y) $, получил более сложную кривую того же порядка для $(p,q)$.
Можно ли для этой кривой либо найти рациональную точку, либо доказать, что их нет?
Заранее благодарен

Lia: оформляйте, пожалуйста, все формулы самостоятельно.
И знак умножения не надо ставить везде подряд. Исправлено.

[nnosipov]

Volik
Освойте, пожалуйста, пакет algcurves в Maple. Ваша кривая является эллиптической (и не является, следовательно, рациональной). Рациональных точек на ней нет, и это (случайно!) можно легко доказать. Попробуйте, кстати.

[Volik]

Спасибо еще раз за algcurves. Но я медленно все осваиваю. Основываясь на вашем утверждении " Рациональных точек на ней нет" еще попробую это доказать. Меня смущает другое, как она может быть эллиптической? Не столько из за 4-й степени, сколько из за отсутствия рациональных точек. Вроде противоречит ее определению: Эллипти́ческая крива́я над полем — неособая кубическая кривая на проективной плоскости над, задаваемая уравнением 3-й степени с коэффициентами из поля и «точкой на бесконечности»

[nnosipov]

Volik в сообщении #1444756 писал(а):

Меня смущает другое, как она может быть эллиптической? Не столько из за 4-й степени, сколько из за отсутствия рациональных точек.

Формально говоря, рациональными точками являются точки этой кривой на бесконечности. Они есть. Нет собственных (аффинных) рациональных точек.

Вот, кстати, пример эллиптической кривой, у которой ровно одна рациональная точка (и это точка на бесконечности): $x^3+y^3=5$. Ее форма Вейерштрасса выглядит так: $v^2=u^3-675/4$.

[Volik]

Спасибо. Конечно algcurves помогает. Например, привести к форме Вейерштрасса. Но пока много не понятного. Например, как у него получается кривую 4-го порядка свести к 3-му. А в моем случае и подстановка оказывается иррациональной. Вряд ли Вы дадите лекцию по этим вопросам. Постараюсь разобраться. Но это уже завтра.