Матричное равенство.

[Коровьев]

Доказать, что матричное равенство
$AB-BA=E$
невозможно

[Профессор Снэйп]

Так вроде $\mathrm{trace}(AB) = \mathrm{trace}(BA)$, если я не ошибаюсь. Ну и естественно $\mathrm{trace}(\lambda \cdot A+\mu \cdot B) = \lambda \cdot \mathrm{trace}(A) + \mu\cdot \mathrm{trace}(B)$. Из этих двух фактов сразу следует $\mathrm{trace}(AB-BA) = 0$, так что $AB-BA \neq E$.

Здесь $\mathrm{trace}$ --- это след матрицы, то есть сумма диагональных элементов.

Добавлено спустя 9 минут 1 секунду:

Кстати, здесь гораздо более интересна обратная задача: любую ли матрицу с нулевым следом можно представить в виде $AB-BA$?

[Коровьев]

Профессор Снэйп писал(а):

Так вроде $\mathrm{trace}(AB) = \mathrm{trace}(BA)$, если я не ошибаюсь. Ну и естественно $\mathrm{trace}(\lambda \cdot A+\mu \cdot B) = \lambda \cdot \mathrm{trace}(A) + \mu\cdot \mathrm{trace}(B)$. Из этих двух фактов сразу следует $\mathrm{trace}(AB-BA) = 0$, так что $AB=BA \neq E$.

Здесь $\mathrm{trace}$ --- это след матрицы, то есть сумма диагональных элементов.

Это ж было не для профессоров!
В следующий раз буду отмечать - для кого.

[Профессор Снэйп]

Коровьев писал(а):

Это ж было не для профессоров!
В следующий раз буду отмечать - для кого.

Для студентов это, кстати, значительно проще. То, что профессор помнит свойства следов --- случайность (если он, конечно, не преподаёт алгебру). А студент, особенно первокурсник, это помнить обязан

[RIP]

Между прочим, над полем положительной характеристики $p$ это матричное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда размер матриц делится на $p$.

[Brukvalub]

Вообще-то, эта задача имеет позорный № 15.130 в задачнике: http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/33036ede737e0bebe77199429fdd7980.djvu

[OZH]

Можно привести контрпример, в котором в качестве матриц выступают обыкновенные числа (ноль, понятное дело, не равен единице). Коммутирующие матрицы так же не подходят...

[Профессор Снэйп]

OZH писал(а):

Можно привести контрпример, в котором в качестве матриц выступают обыкновенные числа (ноль, понятное дело, не равен единице).

Какой ещё контрпример? К чему?

Добавлено спустя 5 минут 14 секунд:

Brukvalub писал(а):

Вообще-то, эта задача имеет позорный № 15.130 в задачнике: http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/33036ede737e0bebe77199429fdd7980.djvu

Brukvalub, ну Вы и ссылку нам подкинули!

Цитата:

На данный момент иностранный трафик у этого файла превышает Российский.
Вы можете получить этот файл только если посетите сайт наших рекламодателей помогающих оплачивать наши сервера и каналы. Нажмите сюда чтобы перейти к выбору рекламодателей.

Рекламой решили подзаработать?

[Brukvalub]

Профессор Снэйп писал(а):

Brukvalub, ну Вы и ссылку нам подкинули!

Цитата:
На данный момент иностранный трафик у этого файла превышает Российский.
Вы можете получить этот файл только если посетите сайт наших рекламодателей помогающих оплачивать наши сервера и каналы. Нажмите сюда чтобы перейти к выбору рекламодателей.


Рекламой решили подзаработать?

Прямо сейчас проверил свою ссылку - работает! Ладно, специально для Сибири и Дальнего Востока даю другую ссылку: http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.cgi?lang=ru&st=%D0%91%D0%B5%D0%BA%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B8%D1%88%D0%B5%D0%B2%D0%B0&network=1
- № 1 в списке!

[zoo]

Коровьев писал(а):

Доказать, что матричное равенство
$AB-BA=E$
невозможно

интересно, а что будет в случае ограниченных операторов в банаховом пространстве?

[Юстас]

zoo писал(а):

Коровьев писал(а):

Доказать, что матричное равенство
$AB-BA=E$
невозможно

интересно, а что будет в случае ограниченных операторов в банаховом пространстве?

Уже было на этом форуме.