Сумма линейных подпространств. Линейные оболочки.

[khasanov.sm]

Доброе утро!

Помогите пожалуйста разобраться со следующим упражнением II.2.2 из ВА I Кострикина:

Пусть $V, V_1, V_2$ линейные оболочки в $\mathbb{R}^n$, причем $V \subset V_1 + V_2$:

1. Всегда ли верно, что $V = V \cap V_1 + V \cap V_2$ ?

2. Что можно сказать про это соотношение в частном случае $V_1 \subset V$ ?

Решение:

1. Пусть $V_1 = \left\lbrace (0, \alpha) | \alpha \in \mathbb{R} \right\rbrace$, $V_2 = \left\lbrace (\beta, 0) | \beta \in \mathbb{R} \right\rbrace$, $V_1 + V_2 = \left\lbrace (\alpha, \beta) | \alpha, \beta \in \mathbb{R} \right\rbrace$, $V_1 \cap V_2 = \theta$, где $\theta$ - нулевой элемент в $\mathbb{R}^n$. Определим $V$ следующим образом : $V = \left\lbrace (\gamma, \gamma) | \gamma \in \mathbb{R}\right\rbrace\subset V_1 + V_2$. Тогда получим $V \cap V_1 = \theta$ и $V \cap V_2 = \theta$ $\Rightarrow$ $V \cap V_1 + V \cap V_2 = \theta \ne V$.

Таким образом, исходное тождество неверно.

2. Пока не закончил
Из условия следует, что $V_1$ является собственным подпространством $V$, и так как $V \subset V_1 + V_2$ $\Rightarrow$ $V_1 \ne V_2$, \left\lbrace \lambda | \lambda \notin V, \lambda \in V_2 \right\rbrace \ne $\varnothing$, $V \cap V_2 \ne \varnothing$. Пока не понятно как выйти на доказательство.

Буду рад Вашим комментариям по решению.

[khasanov.sm]

Появилась такая идея доказательства:

Из условия следует, что $V_1$ является собственным подпространством $V$, и так как $V \subset V_1 + V_2$ $\Rightarrow$ $V_1 \ne V_2$, \left\lbrace \lambda | \lambda \notin V, \lambda \in V_2 \right\rbrace \ne $\varnothing$, $V \cap V_2 \ne \varnothing$. Таким образом можем перейти к доказательству тождества: $V = V \cap V_1 + V \cap V_2 = V_1 + V \cap V_2$. Но так из ($\forall\varphi \in V_1$ $\Rightarrow$ $\varphi\in V$ и $V \cap V_2 = \left\lbrace \lambda | \lambda \in V, \lambda \in V_2\right\rbrace\subset V $) $\Rightarrow$ $\varphi + \lambda \in V, \forall \lambda, \varphi$. Очевидно, что других элементов в $V_2$ нет. Таким образом, тождество верно.

[Munin]

Настоящий адрес упражнения: Кострикин часть I (то есть, первый том), глава 2, § 1, упражнение 2.

khasanov.sm в сообщении #1444439 писал(а):

$V \subset V_1 + V_2 \Rightarrow V_1 \ne V_2$

Я не знаю, с чего вы это взяли, но это неверно. Значок $\subset$ в Кострикине понимается нестрого, так что никто не мешает быть случаю вообще $V=V_1=V_2.$

-- 12.03.2020 13:08:44 --

Munin в сообщении #1444451 писал(а):

Значок $\subset$ в Кострикине понимается нестрого

Зато в Сборнике задач по алгебре под ред. Кострикина используется значок $\subseteq.$ Данное упражнение - часть упражнения 35.13 в Сборнике задач, там стоит именно $\subseteq.$

[mihaild]

khasanov.sm в сообщении #1444439 писал(а):

Очевидно, что других элементов в $V_2$ нет

Возьмите $V = V_1 \neq \mathbb R^n$, $V_2 = \mathbb R^n$. Все условия выполнены, но в $V_2$ еще много чего есть.
Тут будет полезно доказать два включения: если $x \in V$, то $x = y + z$ где $y \in V \cap V_1$, $z \in V \cap V_2$, и если $y \in V \cap V_1$, $z \in V \cap V_2$ то $x + z \in V$. Второе проще (и не требует вообще никаких условий на $V$, $V_1$, $V_2$), первое сложнее и как раз там понадобятся заданные условия.

[Munin]

Ради аккуратности, в пункте 1:

khasanov.sm в сообщении #1444434 писал(а):

$V_1 \cap V_2 = \theta$, где $\theta$ - нулевой элемент в $\mathbb{R}^n$

Или $\theta$ - нулевое подпространство (кстати, почему бы его не обозначить $0$?);
или уж $\ldots=\{\theta\},$ если это именно нулевой элемент.

[khasanov.sm]

Munin в сообщении #1444451 писал(а):

Я не знаю, с чего вы это взяли, но это неверно. Значок $\subset$ в Кострикине понимается нестрого, так что никто не мешает быть случаю вообще $V=V_1=V_2.$

Данный случай вообще тривиален.

khasanov.sm в сообщении #1444439 писал(а):

Очевидно, что других элементов в $V_2$ нет.

Прошу прощения, но здесь опечатка. Имелось в виду, что других элементов в $V$ нет.

mihaild в сообщении #1444459 писал(а):

Тут будет полезно доказать два включения: если $x \in V$, то $x = y + z$ где $y \in V \cap V_1$, $z \in V \cap V_2$, и если $y \in V \cap V_1$, $z \in V \cap V_2$ то $x + z \in V$. Второе проще (и не требует вообще никаких условий на $V$, $V_1$, $V_2$), первое сложнее и как раз там понадобятся заданные условия.

Первое было мое доказано, а второй случай тоже очевиден, т.к. $x, z \in V$, которая является линейной оболочкой и содержит по определению всевозможные линейные комбинации "собственных" элементов.

Munin в сообщении #1444461 писал(а):

Или $\theta$ - нулевое подпространство (кстати, почему бы его не обозначить $0$?);
или уж $\ldots=\{\theta\},$ если это именно нулевой элемент.

Придерживаюсь обозначений, которые используем в универе.

Всем спасибо за комментарии!

[mihaild]

khasanov.sm в сообщении #1444539 писал(а):

Первое было мое доказано

Единственное, что я вижу в вашем рассуждении по этому поводу - это

khasanov.sm в сообщении #1444439 писал(а):

Очевидно, что других элементов в $V$ нет

[замена $V_2$ на $V$ моя - mihaild]
Ну т.е. если вся содержательная часть задачи для вас "очевидна" - то да, доказано.

[Munin]

khasanov.sm в сообщении #1444539 писал(а):

Придерживаюсь обозначений, которые используем в универе.

Хорошо, но в таком случае запись

khasanov.sm в сообщении #1444434 писал(а):

$V_1 \cap V_2 = \theta$

в строгом смысле незаконна, потому что слева множество, а справа только элемент.

В общем, понятно, что здесь имеется в виду, но это вольность обозначений.

[vpb]

khasanov.sm в сообщении #1444439 писал(а):

аким образом можем перейти к доказательству тождества: $V = V \cap V_1 + V \cap V_2 = V_1 + V \cap V_2$

Верно, да.

khasanov.sm в сообщении #1444439 писал(а):

Но так из ($\forall\varphi \in V_1$ $\Rightarrow$ $\varphi\in V$ и $V \cap V_2 = \left\lbrace \lambda | \lambda \in V, \lambda \in V_2\right\rbrace\subset V $) $\Rightarrow$ $\varphi + \lambda \in V, \forall \lambda, \varphi$. Очевидно, что других элементов в $V_2$ нет. Т

Это предложение непонятно. Вы или сумбурно выражаетесь, или сами не понимаете.

Докажем, что $V=V_1+V\cap V_2$. В одну сторону включение ясно: $V_1+V\cap V_2\subseteq V$, потому что оба $V_1$ и $V\cap V_2$ --- подпространства в $V$.
Докажем в обратную. Допустим, $v\in V$. Его можно представить как $v=v_1+v_2$, для некоторых $v_1\in V_1$ и $v_2\in V_2$. Поскольку $V_1\subseteq V$, то $v_1\in V$. Значит про $v_2=v-v_1$ можно утверждать ... что ?

[khasanov.sm]

vpb в сообщении #1444631 писал(а):

Значит про $v_2=v-v_1$ можно утверждать ... что

это элемент из $V$.

Спасибо всем за бесценные для меня комментарии!