Интегральное представление функции обратного расстояния

[wagant]

В одной статье по методам решения уравнений в частных производных я наткнулся на такое утверждение. Функция обратного расстояния $\frac{1}{r}$ имеет следующее интегральное представление (plane wave expansion)

$\frac{1}{r} = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{0}^{\infty} e^{-\lambda z} \int\limits_{0}^{2 \pi} e^{i\lambda(x \cos \alpha + y \sin \alpha)}\, d\alpha d\lambda$.

Я хочу понять, как это представление выводится. В учебниках по математической физики такого представления я не нашел. Что-то похожее было при выводе функции Грина для уравнения Гемгольца. Но только похожее. Подскажите, куда копать?

[Red_Herring]

А что такое $z$ справа?

[wagant]

Это координата $z$. Более подробно можно так сформулировать. Пусть у нас задана точка (source point) $P=(x_0, y_0, z_0)$ и точка (target location) $Q=(x, y, z)$ при этом $z > z_0$ и $r = \| P - Q \|$. Тогда
$\frac{1}{r} = \frac{1}{2 \pi}\int\limits_0^\infty e^{-\lambda (z - z_0)} \int\limits_0^{2\pi}e^{i\lambda((x - x_0)\cos\alpha + (y - y_0)\sin\alpha)}\, d\alpha$ d\lambda.

[nnosipov]

wagant
Попробуйте поменять порядок интегрирования.

[Farest2]

Ага, $z>z_0$! А то я хотел в исходном интеграле $z$ на $|z|$ предложить поменять.

В общем, интеграл по $d\alpha$ -- это нулевой Бессель, $J_0$ (аргумент не скажу -- сами), а интеграл по $d\lambda$ -- это преобразование Лапласа от нулевого Бесселя.

[nnosipov]

Farest2 в сообщении #1444086 писал(а):

Ага, $z>z_0$!

Именно. Это обеспечивает существование несобственного интеграла по $\lambda$ и простую формулу для его вычисления. После чего останется проинтегрировать по $\alpha$.

Кстати, итоговый интеграл по $\alpha$ можно вычислить даже с помощью Maple. И получается действительно $1/r$.

[wagant]

Огромное спасибо за помощь! А можно чуть подробнее про интеграл по $\lambda$ или где про него можно почитать? Правильно ли я понял, что это свойства функций Бесселя?

[nnosipov]

wagant
Вы спрашиваете про мой интеграл по $\lambda$?

[wagant]

nnosipov в сообщении #1444096 писал(а):

wagant
Вы спрашиваете про мой интеграл по $\lambda$?

Ага, про него.

[nnosipov]

Ну, тогда это просто:

$$\int_0^\infty e^{-\omega\lambda}d\lambda=\frac{1}{\omega}.$$

Эта формула верна для любого комплексного числа $\omega$ с положительной вещественной частью. (Доказательство мне кажется очевидным.)

[wagant]

Понятно! Спасибо за помощь!!!