Асимптотика суммы

[Padawan]

Пусть $f(n)=\sum_{k=0}^n\frac{n^k}{k!}$. Найти главный член асимптотики $f(n)$ при $n\to\infty$.

[Sonic86]

(было)

https://dxdy.ru/topic62221.html

[Padawan]

И не раз. Тогда извиняюсь

[novichok2018]

В виде двусторонних неравенств этот результат Рамануджана есть в изложении Харди , кажется.

[Padawan]

Оказывается, что $e^{-n}\sum\limits_{k=0}^n\frac{n^k}{k!}=1-\frac{1}{n!}\int\limits_0^n x^n e^{-x} dx$. И последний интеграл берётся методом Лапласа (это как раз половинка горба в интеграле для $\Gamma(n+1)$)