Интегралы по границе эллипса в различных координатах

[Nikolay Ch.]

Возник вопрос касательно вычисления интегралов по границе эллипса в различных ортогональных системах координат.
Задаётся эллипс, вытянутый вдоль оси ординат:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x=a\cos\theta, \\ y=\lambda a\sin\theta, \\ \end{array} \right.$$

где \lambda - параметр "эллиптичности". В таком случае дифференциал длины дуги ищется стандартно:

$$ dl^2=dx^2+dy^2=a^2(1+(\lambda^2-1)\cos^2\theta) $$

Отсюда получается тривиальное выражение для периметра с полным эллиптическим интегралом 2-го рода:

$$ P=\int\limits_{0}^{2\pi}a\sqrt{1+(\lambda^2-1)\cos^2\theta}d\theta = 4\lambda E(\sqrt{\frac{\lambda^2-1}{\lambda^2}}) $$

Перейдём теперь в полярную систему координат. Если принять центр эллипса за полюс, то выражение для радиус вектора имеет следующий вид:

$$ r(\theta)=\frac{\lambda a}{\sqrt{1+(\lambda^2-1)\cos^2\theta}} $$

Найдём теперь элемент длины в полярных координатах:

$$ dl^2=dr^2+r^2d\theta^2=\lambda^2 a^2\frac{1+(\lambda^4-1)\cos^2\theta}{(1+(\lambda^2-1)cos^2\theta)^3}d\theta^2 $$

Интегрирование этого выражения приведёт нас к тому же численному результату. Потому крайне назойлива идея о том, что это выражение можно свести к более простому декартовому виду. Интеграл декартова выражения тривиально сводится к эллиптическому, чего не сказать о полярном. Однако, как я не бился, привести его к ДСК так и не смог.
В данный момент я пишу дипломную работу, где требуется, помимо прочего, интегрирование косинусоидальных гармоник вдоль границы эллипса. В случае интегрирования нулевой гармоники (т.е. тривиального интегрирования длины дуги) численные ответы совпадают (вычислялись в WolframAlpha). Так, для значения \lambda=2 (параметр a опущен):

$$ P=\int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{1+3\cos^2\theta}d\theta=8E(\sqrt{\frac{3}{4}})\approx 9.68845 $$

$$ P=\int\limits_{0}^{2\pi}2\sqrt{\frac{1+15\cos^2\theta}{(1+3cos^2\theta)^3}}d\theta\approx 9.68845 $$

Если же я интегрирую гармонику второго порядка, результаты расходятся значительно вплоть до знака.
Уважаемые товарищи, прошу помочь разобраться, что не так. Спасибо!

[svv]

Nikolay Ch. в сообщении #1443945 писал(а):

Задаётся эллипс, вытянутый вдоль оси ординат:

$$\left\{\begin{array}{rcl}x=a\cos\theta, \\y=\lambda a\sin\theta, \\\end{array}\right.$$

Навскидку: если Вы задаёте такую параметризацию эллипса, элемент длины в полярных координатах больше не равен $dr^2+r^2d\theta^2$, потому что $\theta$ уже не является полярным углом. Настоящий полярный угол $\varphi$ связан с $\theta$ соотношением $\tg\varphi = \lambda \tg \theta$.

[Nikolay Ch.]

svv
Благодаря Вам нашёл ошибку. Спасибо!