Существенно особая точка

[Padawan]

Пусть функция $f(z)$ является аналитической в области $\mathbb C\setminus\{0\}$. Предположим, что существуют константы $C>0, r>0$ такие, что $|f(z)|<\frac{C}{\operatorname{Re}z}$ при всех $|z|<r$, $\operatorname{Re} z>0$. Может ли при таких условиях точка $z=0$ быть существенно особой точкой функции $f$?

Я попробовал рассмотреть функцию $z^2 f(z)$. Для неё выполнено $z^2 f(z)\to 0$ при $z\to 0$ равномерно в любом угле с вершиной в нуле и лежащем в правой полуплоскости, т.е. при $|\arg z|<\frac \pi 2-\theta$. Можно ли при таких условиях утверждать, что $z=0$ не является существенно особой точкой? У нас есть теоремы Сохоцкого-Вейерштрасса, Пикара и Жюлиа. Но в первых двух речь идет о всей проколотой окрестности особой точки, а в третьей утверждается, что найдется хотя бы один луч. Вот если бы было известно, что лучей Жюлиа много, и ходя бы один точно найдется в правой полуплоскости.

[Vince Diesel]

Функция $e^{-e^{z^{-1}}}$ вроде подходит.

[DeBill]

Vince Diesel в сообщении #1443854 писал(а):

Функция $e^{-e^{z^{-1}}}$ вроде подходит.

Видимо, имелось в виду $e^{-\frac{1}{z}}$ ?