вкладывание в кольцо

[ShMaxG]

Скажите пожалуйста:

Доказать, что всякое ассоциативное кольцо с единицей изоморфно вкладывается в кольцо эндорфизмов своей аддитивной группы.

Значит ли это, что надо доказать, что если данное кольцо -

\[R\]

, а кольцо эндорфизмов ее аддитивной группы

\[E\]

, то нужно доказать, что

\[ R \cong S \subset E \]

[Профессор Снэйп]

Тривиально.

Для каждого $x \in R$ пусть $\alpha_x(y) = x \cdot y$. Тогда $x \mapsto \alpha_x$ --- искомое вложение.

Ассоциативность вроде по теме. А зачем единица в кольце нужна? Вроде можно без неё.

Добавлено спустя 8 минут 13 секунд:

Про единицу вообще-то тоже понятно. Чтобы отображение $x \mapsto \alpha_x$ было вложением, оно должно быть инъективным. То есть должно быть $\alpha_x = \alpha_y \Leftrightarrow x=y$. Если в кольце есть единица, то

$$ \alpha_x = \alpha_y \Rightarrow \alpha_x(1) = \alpha_y(1) \Rightarrow x=y $$

А вот интересно: можно ли придумать ассоциативное кольцо (без единицы), для которого рассматриваемое отображение было бы не инъективным?

[ShMaxG]

спасибо большое, я так и делал.))

[Профессор Снэйп]

Ха!.. Пример кольца без единицы, для которого нет изоморфного вложения --- тоже вроде просто..

Берём абелеву группу $\mathbb{Z}_2$ из двух элементов и на ней определяем умножение: $x \ast y = 0$ для любых $x,y \in \mathbb{Z}_2$.

Ассоциативность умножения и дистрибутивность вроде есть. То есть введённая таким образом система является ассоциативным кольцом. Ну а то, что искомого вложения не существует --- очевидно.