Оценки максимума через корреляции

[alisa-lebovski]

Пусть есть две одинаково распределенные случайные величины $X_1$ и $X_2$, такие что ${\bf E}X_i=0$, ${\bf D}X_i=2$, ${\bf E}|X_i|=1$, ${\bf D}|X_i|=1$. Распределение симметрично относительно нуля.

Известны корреляции $corr(X_1,X_2)={\bf E}X_1X_2/2=\alpha$, $corr(|X_1|,|X_2|)={\bf E}|X_1||X_2|-1=\beta$. Для них кстати верно $|\alpha|\le (1+\beta)/2$.

Хотелось как можно более жесткие оценки сверху для $\mu={\bf E}\max\{X_1,X_2\}={\bf E}|X_1-X_2|/2$.

Пока получилось только вот что:

$$\mu\le\frac{1}{2}({\bf E}(X_1-X_2)^2)^{1/2}=\frac{1}{2}({\bf E}(X_1^2+X_2^2-2X_1X_2))^{1/2}=(1-\alpha)^{1/2}.$$

Но эта оценка не учитывает $\beta$.