LOTO 35/48

[rsoldo]

We have a total of 48 balls, 6 each in 8 different colors. We randomly use 35 balls. What is the probability that we cannot complete any 6 balls in the same color from the selected balls?
What are the probabilities that we can to complete: 1, 2, 3, 4 or 5 ( x6 balls ) in the same colors?

[mihiv]

rsoldo в сообщении #1443002 писал(а):

What is the probability that we cannot complete any 6 balls in the same color from the selected balls?

This event occurs if and only if there is at least one ball of each of eight colors among 13 balls left. The number of desired outcomes is given by the coefficient $a_{13}$ in the power series expansion of the generating function(we don't distinguish between the balls of the same color ):

$$f_1(x)=(x+\dots +x^6)^8=\dfrac {x^8(1-x^6)^8}{(1-x)^8}, a_{13}=C^{7}_{12}$$

The total number of all outcomes is given by the coefficient $b_{13}$ in the power expansion of the generating function:

$$f_2(x)=(1+x+\dots +x^6)^8=\dfrac {(1-x^7)^8}{(1-x)^8}, b_{13}=C^{7}_{20}-8C^{7}_{13}$$

The probability is:$p=\dfrac {C^{7}_{12}}{C^{7}_{20}-8C^{7}_{13}}$

[rsoldo]

One account:

5.completed ........ $\frac{\binom{8}{5} \cdot \binom{18}{5}}{\binom{48}{35}}=0,0002\%$
4.completed .......... $\frac{\binom{8}{4}\cdot \left [ \binom{24}{11}-\binom{4}{1}\cdot \binom{18}{5}\right]}{\binom{48}{35}}=0,0893\%$
3.completed ......... $\frac{\binom{8}{3}\cdot \left \{{\binom{30}{17}-\binom{5}{2}\cdot \binom{18}{5}-\binom{5}{1}\cdot \left [\binom{24}{11}-\binom{4}{1}\cdot \binom{18}{5}\right ]\right \}}}{\binom{48}{35}}=3,1164\%$
2.completed ......... $\frac{\binom{8}{2}\cdot \left\{\binom{36}{23}-\binom{6}{3}\binom{18}{5}-\binom{6}{2}\left [\binom{24}{11}-\binom{4}{1}\binom{18}{5}\right]-\binom{6}{1}\left [\binom{30}{17}-\binom{5}{2}\binom{18}{5}-\binom{5}{1}\cdot \left [\binom{24}{11}-\binom{4}{1}\binom{18}{5}\right]\right]\right\}}{\binom{48}{35}}=23,6492\%$
1.completed .....

$$\frac{1}{\binom{48}{35}}\cdot \left\{{\binom{8}{1}\cdot \left\{\binom{42}{29}-\binom{7}{4}\binom{18}{5}-\binom{7}{3}\left [\binom{24}{11}$$ $$-\binom{4}{1}\binom{18}{5}\right]-\binom{7}{2}\left [\binom{30}{17}-\binom{5}{2}\binom{18}{5}-\binom{5}{1}\left [\binom{24}{11}-\binom{4}{1}\binom{18}{5}\right]\right]- \binom{7}{1}\cdot \left [\binom{36}{23}-\binom{6}{3}\binom{18}{5}-$$ $$\binom{6}{2}\left [\binom{24}{11}-\binom{4}{1}\binom{18}{5}\right]-\binom{6}{1}\left [\binom{30}{17}-\binom{5}{2}\binom{18}{5}-\binom{5}{1}\left [\binom{24}{11}-\binom{4}{1}\binom{18}{5}\right]\right]\right\}=48,8103\%$$

The probability that we cannot complete any color is:

$100-48,8103-23,6492-3,1164-0,0893-0,0002=24,3346\%$

[Yadryara]

My version. The probability(no 6) is:

$p=\dfrac {\binom{40}{5}}{\binom{13}{48}}\approx 0.0000034$

[Yadryara]

Буду считать, что разрешили написать по-русски.

Как я понял условие:

Имеется $48$ шаров по $6$ шаров каждого из $8$-ми цветов. Случайным образом выбрали $35$ из них.

Какова вероятность, что среди выбранных мы не найдём ни одного полного комплекта, то есть, что никакой цвет не встретится ровно $6$ раз?

При успешном исходе хотя бы по одному шарику каждого цвета останется. Вот и посмотрим на эти оставшиеся 13 шаров:

$12345678xxxxx

Цифрами от $1$ до $8$ обозначены шары различных цветов. $x$ — шар произвольного цвета.

Сколько всего таких подходящих вариантов?

$11111116 \qquad 8$

$11111125 \qquad 56$

$11111134 \qquad 56$

$11111224 \qquad 168$

$11111233 \qquad 168$

$11112223 \qquad 280$

$11122222 \qquad 56$


$8\cdot1 + 56\cdot3 + 168\cdot2 + 280\cdot1 = 792$

Здесь цифрами от $1$ до $6$ обозначено количество шаров того или иного цвета среди оставшихся $13$-ти.

А сколько всего вариантов из $13$ шаров? Суммирую количества вариантов от $3$-х до $8$ цветов.

$1176 + 9800 + 23520 + 21168 + 7336 + 792 = 63792$

$p=\dfrac {792}{63792}\approx 0.0124$

Что совпадает с подсчётом уважаемого mihiv.

А вчера я неправильно посчитал. Не учёл, что шары одного цвета неразличимы между собой.

А ведь $5$ и тем более $4,3,2,1$ одноцветных шаров мы всегда сможем обнаружить среди этих $35$, ибо оставшихся шаров меньше, чем $16$.

Что считает ТС мне, извините, непонятно.

[Dendr]

Да вроде понятно. (начали по-русски, так и пойдем)
Сам задачу только сегодня увидел, точно так же и решил.

Давайте пронумеруем шары, вероятности от этого не изменятся, но зато будет проще считать комбинации. Количество комбинаций всего - $C^{35}_{48}$.
Пойдем с конца.
Что значит, что среди 35 шаров есть ровно 5 шестерок? Это значит, что среди оставшихся 13 обязательно встретятся шары трех цветов. Выбор этих цветов, очевидно, $C^3_8$, и по Дирихле каждый цвет встретится хотя бы раз. Всего шаров этих цветов $3\cdot6=18$, выбираем 13 из них, $C^{13}_{18}$. Итого, $p_5=\frac{C^3_8\cdot C^{13}_{18}}{C^{35}_{48}}$. С точностью до обозначений, это то же, что у ТС.

Что значит, что среди 35 шаров ровно 4 шестерки? Ну... давайте посчитаем пока случаи, когда там по крайней мере 4 шестерки. То есть выбираем 4 цвета ($C^4_8$), и 13 шаров из $4\cdot6=24$ - т.е. $C^{13}_{24}$. Но так мы переберем "чисто четверки" и, иногда, пятерки. Причем каждая конкретная пятерка встретится $C^1_5$ раз. Получаем, что $p_4+C^1_5\cdot p_5=\frac{C^4_8\cdot C^{13}_{24}}{C^{35}_{48}}$.

Продолжая дальше, получим:
$p_3+C^1_4\cdot p_4+C^2_5\cdot p_5=\frac{C^5_8\cdot C^{13}_{30}}{C^{35}_{48}}$.
$p_2+C^1_3\cdot p_3+C^2_4\cdot p_4+C^3_5\cdot p_5=\frac{C^6_8\cdot C^{13}_{36}}{C^{35}_{48}}$.
$p_1+C^1_2\cdot p_2+C^2_3\cdot p_3+C^3_4\cdot p_4+C^3_5\cdot p_5=\frac{C^7_8\cdot C^{13}_{42}}{C^{35}_{48}}$.
Ну и, продолжая, можно получить ожидаемое $p_0+p_1+p_2+p_3+p_4+p_5=1$

Ну, дальше уже дело техники.

[Yadryara]

Dendr, спасибо, теперь понятно. ТС считал вероятности для количеств полных комплектов (от 1 до 5) среди выбранных 35 шаров. А 1-й вопрос задачи был про 0 комплектов.

Причём Вы с rsoldo нумеровали шары, а мы с mihiv — нет.

И ответы по $p_0$ у нас сильно разошлись. Мы с mihiv получили, грубо говоря, 1%, а rsoldo — 24%.

Сколько получили Вы?

[Yadryara]

Кстати, мои 6 вероятностей можно почерпнуть из этой строки:

Yadryara в сообщении #1515843 писал(а):

А сколько всего вариантов из $13$ шаров? Суммирую количества вариантов от $3$-х до $8$ цветов.

$1176 + 9800 + 23520 + 21168 + 7336 + 792 = 63792$

$p_0=\dfrac {792}{63792}\approx 0.0124$

$p_1=\dfrac {7336}{63792}\approx 0.1150$

$p_2=\dfrac {21168}{63792}\approx 0.3318$

$p_3=\dfrac {23520}{63792}\approx 0.3687$

$p_4=\dfrac {9800}{63792}\approx 0.1536$

$p_5=\dfrac {1176}{63792}\approx 0.0184$

Их сумма очевидно равна $1$. И они весьма сильно отличаются от тех, что привёл rsoldo. Ни одного совпадения.

Кто-то из нас неправ.

А у Вас, Dendr, какие $p_0, p_1, ... , p_5$ получились?

[Yadryara]

Dendr, ага, нашёл у Вас и rsoldo ошибку.

Dendr в сообщении #1515864 писал(а):

Что значит, что среди 35 шаров есть ровно 5 шестерок? Это значит, что среди оставшихся 13 обязательно встретятся шары трех цветов. Выбор этих цветов, очевидно, $C^3_8$, и по Дирихле каждый цвет встретится хотя бы раз. Всего шаров этих цветов $3\cdot6=18$, выбираем 13 из них, $C^{13}_{18}$. Итого, $p_5=\frac{C^3_8\cdot C^{13}_{18}}{C^{35}_{48}}$. С точностью до обозначений, это то же, что у ТС.

Да, это то же, что у ТС. А теперь замените в Ваших рассуждениях $35$ на $45$.

Вы согласны, что если мы выберем 45 шаров, то 5 комплектов по 6 одноцветных шаров мы точно среди них обнаружим? То есть в этом случае $p_5=1$.

Теперь, когда мы знаем какая вероятность должна получиться, я сделаю в Вашем тексте соответствующие замены:

"Что значит, что среди 45 шаров есть ровно 5 шестерок? Это значит, что среди оставшихся 3 обязательно встретятся шары трех цветов. Выбор этих цветов, очевидно, $C^3_8$, и по Дирихле каждый цвет встретится хотя бы раз. Всего шаров этих цветов $3\cdot6=18$, выбираем 3 из них, $C^{3}_{18}$. Итого,

$$p_5=\frac{C^3_8\cdot C^{3}_{18}}{C^{45}_{48}} \approx 2.64

А вероятность разве бывает больше единицы ?? Да ещё в два с половиной раза ??

А по моей методике подсчёта получается

$p_5=\frac{56}{56} = 1$

[Dendr]

По моему решению я получил ровно те же числа, что и rsoldo поэтому и уверен, что наши рассуждения совпадают.

Yadryara в сообщении #1515880 писал(а):

Вы согласны, что если мы выберем 45 шаров, то 5 комплектов по 6 одноцветных шаров мы точно среди них обнаружим? То есть в этом случае $p_5=1$.

По крайней мере 5 - да. Ровно 5 - надо считать.

Yadryara в сообщении #1515880 писал(а):

Теперь, когда мы знаем какая вероятность должна получиться, я сделаю в Вашем тексте соответствующие замены:

"Что значит, что среди 45 шаров есть ровно 5 шестерок?"

Тут не совсем то, что у меня. Потому что рассуждения следует начинать с максимального количества шестерок, то есть семи. Знаменатель поправится только заменой 13 на 3, а числитель, соответственно...

7 шестерок среди 45 шаров - значит, в избытке одноцветная тройка. Выбор цвета (1 из 8), выбор 3 шаров из 6...
$p_7=\frac{C^1_8\cdot C^3_6}{C^3_{48}}\approx0.925 \%$

По крайней мере, 6 шестерок: в числителе теперь выбор двух цветов, и 3 шаров из 12, а слева будут соответствующие изменения:
$p_6+7p_7=\frac{C^2_8\cdot C^3_{12}}{C^3_{48}}\approx35.615\%; p_6=29.14\%$

Далее, $p_5+6p_6+21p_7=\frac{C^3_8\cdot C^3_{18}}{C^3_{48}}\approx264.2\%; p_5=69.235\%$
Сумму $p_5+p_6+p_7$ проверьте, она ровно 100.

-- 28.04.2021, 09:46 --

Если говорить про замены, давайте рассмотрим две группы по 3 шара, из которых будет отбирать 4.

Какова вероятность не собрать среди этих четырех одноцветную тройку? Какова вероятность собрать одну?

По моей методике
$p_1=\frac{C^1_2\cdot C^2_3}{C^2_6}=\frac{2\cdot3}{15}=0.4$
$p_0+p_1=\frac{C^2_2\cdot C^2_6}{C^2_6}=1; p_0=0.6$

По вашей методике, как я ее понял, выйдет так: есть 6 шаров, выбираем 4. Остались два.
У нас есть следующие возможности их состава:
02 (х2) - разные цвета
11 (х1) - один цвет.
2+1=3.
Значит, вероятность $p_0=0.333$.

Нехило так. Почти в два раза. Кто-то должен быть совсем неправ.

Однако, какой ответ правильный?
Очевидно, что эта задача эквивалентна выбору двух шаров из этих шести - либо разно-, либо одноцветных...
Лезем в мешочек, достаем какой-то шар. Теперь там осталось 2 шара такого же цвета, 3 шара другого. Вопрос - какова вероятность вытащить шар другого цвета? Конечно же, 3/5.

Вывод: шары различать следует. Поэтому нумерация необходима, и ответ на первый вопрос исходной задачи - 24%.

[Yadryara]

Dendr, кое с чем согласен. Надо ещё раз перепроверить.

Dendr в сообщении #1515886 писал(а):

Выбор цвета (1 из 8), выбор 3 шаров из 6...
$p_7=\frac{C^1_8\cdot C^3_6}{C^3_{48}}\approx0.925 \%$

По крайней мере, 6 шестерок: в числителе теперь выбор двух цветов, и 3 шаров из 12, а слева будут соответствующие изменения:
$p_6+7p_7=\frac{C^2_8\cdot C^3_{12}}{C^3_{48}}\approx35.615\%; p_6=29.14\%$

Далее, $p_5+6p_6+21p_7=\frac{C^3_8\cdot C^3_{18}}{C^3_{48}}\approx264.2\%; p_5=69.235\%$
Сумму $p_5+p_6+p_7$ проверьте, она ровно 100.

Проверю слегка:

$0,925 + 29,14 + 69,235 = 99,3$

Пока не сходится.

[nnosipov]

Yadryara в сообщении #1515892 писал(а):

Пока не сходится.

Это из-за ошибок округления.

[Yadryara]

nnosipov, конечно нет. Это, видимо, из-за опечатки:

Dendr в сообщении #1515886 писал(а):

Далее, $p_5+6p_6+21p_7=\frac{C^3_8\cdot C^3_{18}}{C^3_{48}}\approx264.2\%; p_5=69.235\%$

А надо было написать $p_5=69.935\%$

[mihiv]

Все же шары, как показывает обсуждение, нужно нумеровать, потому что для неразличимых шаров различные наборы (одинаковой длины) не равновероятны.

[Dendr]

Yadryara в сообщении #1515898 писал(а):

Это, видимо, из-за опечатки:

Да, поторопился, там опечатка. На бумажке-то писал простыми дробями, там сходилось (соответственно, 10, 315 и 756 к 1081), а переводя в десятичные, умудрился 2 и 9 перепутать.

Интересно (даже независимо от справедливости такого решения), получаемые соотношения биномиальных коэффициентов, вообще говоря, существуют? Для задачи, где берется 45 из 48, например, получается, относительно короткое, следующее тождество - здесь специально подставлены для симметрии члены вида $C^0_k$:
$C^0_5C^0_6C^0_7C^3_{48}=C^0_6C^0_7C^3_8C^3_{18}+C^0_5C^0_7C^2_8C^3_{12}-C^0_7C^1_6C^2_8C^3_{12}+C^0_5C^0_6C^1_8C^3_6+C^1_6C^1_7C^1_8C^3_6-C^0_5C^1_7C^1_8C^3_6-C^0_6C^2_7C^1_8C^3_6$
Для других параметров задачи выйдет более громоздкое выражение, но оно тоже будет тождеством.