Ориентация плоскости. Не понимаю, откуда вектор.

[ForQuestion$]

Рассказывается тут про положительно- и отрицательно ориентированную плоскость. Не понимаю, откуда автор взял вектор А2. :( Крик о помощи.

Цитата:

Отступление про ориентацию.Для определения ориентации нужна формула, которую от студентов зачастую скрывают, - формула площади параллелограмма. Пусть на евклидовой плоскости с ортонормированными координатами ${(X, Y)}$ имеется параллелограмм. Первый вектор, задающий параллелограмм, обозначим через $\overrightarrow{A} = (x_1, y_1)$, второй - через $\overrightarrow{B} = (x_2, y_2)$ (рис.5)
Теорема.Площадь $S (\overrightarrow{A}, \overrightarrow{B})$ параллелограмма, порожденного векторами $\overrightarrow{A}$ и $\overrightarrow{B}$, является линейной функцией от вектора $\overrightarrow{A}$: (рис.6)
Площадь надо считать со знаком «плюс», если поворот от $\overrightarrow{A}$ к $\overrightarrow{B}$ - в направлении вращения от первой координатной полуоси ко второй (на нашем рисунке - «против часовой стрелки»). Соответственно, со знаком «минус», если поворот от $\overrightarrow{A}$ к $\overrightarrow{B}$ - в противоположную сторону. Линейность зависимости площади от первого вектора означает также, что

$$S(k\cdot\overrightarrow{A}, \overrightarrow{B}) = k\cdot(\overrightarrow{A}, \overrightarrow{B})$$

Эти два простых факта содержат в скрытом виде всю «теорию определителей».

Мои предположения: вектор, лежащий напротив А - это А2 (?). Звучит не очень убедительно, но иное мой мозг просто не может придумать. Что такое произведение векторов и какие они бывают - знаю, в гугле не забанили, но мои знания не помогли, и найти ничего не удалось, что колоритно.


-- 05.03.2020, 04:37 --

Не дописала самую главную формулу.

Цитата:

является линейной функцией от вектора $\overrightarrow{A}$:

Вот она, по ней вопрос: $S(\overrightarrow{A_1} + \overrightarrow{A_2}, \overrightarrow{B}) = S(\overrightarrow{A_1}, \overrightarrow{B}) + S(\overrightarrow{A_2}, \overrightarrow{B})$

[Lia]

ForQuestion$
Оформляйте формулы нормально. Даже такие маленькие, как $A$ и $A_2$.
Если Вас интересует только последняя строка, то достаточно было привести определение $S$ и формулировку теоремы. Все остальные слова (про ориентацию и проч.) излишни.

ForQuestion$ в сообщении #1442964 писал(а):

Не дописала самую главную формулу.

Цитата:

является линейной функцией от вектора $\overrightarrow{A}$:

Вот она, по ней вопрос: $S(\overrightarrow{A_1} + \overrightarrow{A_2}, \overrightarrow{B}) = S(\overrightarrow{A_1}, \overrightarrow{B}) + S(\overrightarrow{A_2}, \overrightarrow{B})$

И как, по-Вашему, доказывается линейность? Что нужно доказать?

[Утундрий]

(Оффтоп)

Цитата:

формула, которую от студентов зачастую скрывают, - формула площади параллелограмма.

Ох уж этот Арнольд...

[svv]

ForQuestion$
Вас сбило с толку то, что рисунок 6 помещён под формулировкой теоремы, и Вы подумали, что он является иллюстрацией к утверждению теоремы.

Нет, рисунок 6 относится только к словам:

Цитата:

Пусть на евклидовой плоскости с ортонормированными координатами $(X, Y)$ имеется параллелограмм. Первый вектор, задающий параллелограмм, обозначим через $A}= (x_1, y_1)$, второй - через $B= (x_2, y_2)$.
Теорема. Площадь $S(A,B)$ параллелограмма, порожденного векторами $A$ и $B$

И ни слова дальше! То есть:
— на плоскости выбрали два вектора $A$ и $B$;
— построили параллелограмм на этих векторах как на сторонах;
— его площадь обозначили $S(A,B)$.
Как видите, автор вводит обозначение $S(A,B)$ прямо в формулировке теоремы. Это разнообразит стиль, тренирует мозг и тоже может сбивать с толку.

А собственно утверждение теоремы «выходит за рамки рисунков»: для любых векторов $A_1,A_2,B$ на плоскости имеем $S(A_1,B)+S(A_2,B)=S(A_1+A_2,B)$.

Кстати, я не увидел в книге доказательства теоремы.

[Munin]

ForQuestion$
А из какой книги вообще эта цитата, и с какой страницы? Хорошо бы приводить...

[arseniiv]

svv в сообщении #1442998 писал(а):

А собственно утверждение теоремы «выходит за рамки рисунков»: для любых векторов $A_1,A_2,B$ на плоскости имеем $S(A_1,B)+S(A_2,B)=S(A_1+A_2,B)$.

А в каком смысле выходит? Ведь есть хорошая иллюстрация с плоской треугольной призмой. Хотя удостовериться лучше по формуле с синусом или в координатах. (А ещё лучше бы автор внешнее произведение сразу вводил…)

[svv]

Имеются в виду те рисунки, что в книге. Рисунок с призмой был бы хорош, но его нет в книге.

[arseniiv]

А, понятно. Так в тот раз и понял, что в книге недостаток.

[Munin]

svv
А вы угадали, о какой книге речь?

[svv]

Да, это В.Арнольд, «Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов», страница 7.
Я нашёл её по цитате в первом сообщении. Плюс подсказка Утундрий.

[ForQuestion$]

Munin
svv
arseniiv
Утундрий
Lia
Спасибо, разобралась.