обусловленность матрицы

[Andrey_Kireew]

Пусть имеется квадратная матрица и абсолютные значения в одном из её столбцов (или одной из строк) меняются путём умножения на константу. Верно ли, что уменьшение абсолютных значений элементов столбца всегда ведёт к ухудшению матрицы? Численный эксперимент с матрицей случайных чисел показывает, что умножение одного из столбцов на 0,1 приводит к увеличению спектрального числа обусловленности примерно в 10 раз, при умножении на 0,01 - в 100 раз и т.д. Верно ли это в общем случае и для любой матрицы?

[svv]

Нет, сравните $\begin{bmatrix}10&0\\0&1\end{bmatrix}$ и $\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$.

[Andrey_Kireew]

svv в сообщении #1442738 писал(а):

Нет, сравните

в общем, надо так понимать, обусловленность ухудшается и при увеличении std одного из столбцов. У хорошо обусловленной матрицы std столбцов должны быть примерно одинаковы, правильно?

[vpb]

Что такое std, не знаю. Вообще, этот сюжет называется "масштабирование неизвестных". Возникает, как я понимаю, когда по (физическому и т.д.) смыслу задачи переменные неравноправны. В книге Форсайта и Молера "Численное решение систем линейных алгебраических уравнений" есть про это параграф. (Но лично мне это неинтересно, т.к. в моих задачах переменные равноправны.)

[feedinglight]

Ну типа да, диагональное предобусловливание для матриц с диагональным преобладанием -- вполне рабочая тема

[Andrey_Kireew]

Спасибо vpb, прочитал я тот раздел. Всё что я из него понял - это есть оптимальное масштабирование, любые отклонения от которого ведут к ухудшению обусловленности матрицы. В общем, моё предположение подтверждается