Свободный пробег. Все/ни одна/хотя бы одна. ФЛФ, з-ча 43-2

[Uchitel'_istorii]

Условие английское и ответ:

PNG. писал(а):

43-2. A certain vessel contains $10^{24}$ molecules of a gas for which the mean free path is $l$. For what path length $L$ is there less than a $50$ per cent chance that any of the molecules in the container will go farther than $L$ before it suffers its next collision?
Answer: $l \ln 2N$

Условие русское и решение:

PNG писал(а):

43. 2. Сосуд содержит $10^{24}$ молекул газа, средняя длина свободного пробега одной молекулы равна $l$. Для какой длины пробега $L$ вероятность того, что хоть какая-нибудь из молекул пройдет в сосуде без столкновения путь, превышающий $L$, меньше $50%$?

Мое решение:
Фейнман вывел уравнение вероятности, что частица не испытает столкновение за время $t$ (43.8):
$P(t) = e^{-t/\tau}$,
$\tau$ - среднее время между столкновениями.
Пройдя по выкладкам, можно записать уравнение вероятности, что конкретная молекула не испытает столкновение на расстоянии $L$:
$P(L) = e^{-L/l}$.

Используя формулу:
$P_\text{ни один} + P_\text{хотя бы один} = 1$,
я записываю:
$(1 - e^{-L/l})^{N}$ - вероятность, что ни одна молекула сосуда не пролетит дальше $L$,
$N$ - количество молекул в сосуде.
$1- (1 - e^{-L/l})^{N}$ - вероятность, что хотя бы одна молекула сосуда пролетит дальше $L$.

$1- (1 - e^{-L/l})^{N} = \tfrac{1}{2}$

$1 - e^{-L/l} = 0,5^{1/N}$

$L = - l \ln (1- 0,5^{1/N} )$


Используя верное для больших $N$ тождество $1 - (\tfrac{1}{a})^{1/N} = \tfrac{\ln a}{N} $, получаю:
$L = + l \ln (\tfrac{N}{\ln 2} )$, а не $l \ln (2N)$.
Где ошибка?
В русском решебнике - полный бред.

[se-sss]

У меня столько же в тетрадке (формула), а численно $\approx$$55,6l$