Помогите с суммой ряда

[Farid123]

$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(2n\right)!}{\left(n+1\right)\cdot2^{2n}\cdot\left(n!\right)\cdot\left(n!\right)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(2n\right)!}{\left(n+1\right)\cdot2^{2n}\cdot\left(n!\right)\cdot\left(n!\right)}+1=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{2n}}{\left(n+1\right)\cdot2^{2n}\cdot\sqrt{\pi n}}+1=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\left(n+1\right)\cdot\sqrt{\pi n}}+1=\left(\int_{0}^{1}\frac{1}{\left(x+1\right)\cdot\sqrt{\pi x}}dx\right)+1=1+\frac{\sqrt{\pi}}{2}\approx2$. При учете $\frac{\left(2n\right)!}{n!\cdot n!}\approx\frac{2^{2n}}{\sqrt{\pi n}}$
Можно ли так делать, или нужно как то поточнее?

[Otta]

Нельзя. В суммах не заменяют слагаемые на эквивалентные.
Делать можно по-разному. Можно заметить, что это практически ряд Тейлора одной из стандартных функций. Функцию можно угадать, их, стандартных, не так и много. А можно не сразу угадать, а постепенно.
Например, если $a_n= \frac{\left(2n\right)!}{2^{2n}n!n!}$, то сумма ряда $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ угадывается без труда. Ну а исходный ряд можно получить из этого, дифференцированием или интегрированием, посмотрите, как лучше.

[Farid123]

Понял, спасибо большое.

[Farid123]

Проблема возникает в знаменателе, тоесть${n+1}$ не совсем удобная вещь.Если бы это было ${2n+1}$ конечно же это было разложение ${\arcsin1}$

[Otta]

Это значит только одно: что арксинус тут ни при чем. Зато можно вспомнить, откуда берется разложение для арксинуса, как оно выводится наикратчайшим путем, и подправить нужным образом.
Раз уж сразу не узнается нужная функция.

[Farid123]

Надо попробовать

[Ms-dos4]

Farid123
Чтобы ничего не угадывать (хотя здесь это действительно можно сделать), нужно переписать выражение под суммой как

$$\frac{{(2n)!}}{{(n + 1) \cdot {2^{2n}} \cdot {{(n!)}^2}}} = \frac{2}{\pi }\frac{{\Gamma (n + \frac{1}{2})\Gamma (\frac{3}{2})}}{{\Gamma (n + 2)}} = \frac{2}{\pi }\int\limits_0^1 {{\xi ^{n - \frac{1}{2}}}{{(1 - \xi )}^{\frac{1}{2}}}d\xi } $$

Дальнейшее суммирование, а затем и интегрирование элементарно.

[Farid123]

Ms-dos4
Спасибо большое