Неравенство с дисперсией

[meshok]

Доброго времени суток! Пытаюсь доказать такое неравенство, хотя может быть и ошибочное.
Пусть $E\xi=0, D\xi<\infty$. Тогда при каждом фиксированном $\varepsilon $ верно неравенство $ P\left\lbrace|\xi|>\varepsilon\right\rbrace\leqslant2P\left\lbrace\xi>\varepsilon-\sqrt{2D\xi}\right\rbrace$
У меня пока получилось только самое простое. Если распределение $\xi$ симметрично, то неравенство верное.
Если $\varepsilon\leqslant0$, то неравенство верное.
Если $P\left\lbrace\xi>\varepsilon-\sqrt{2D\xi}\right\rbrace \geqslant P\left\lbrace\xi<-\varepsilon+\sqrt{2D\xi}\right\rbrace$, то неравенство тоже верно.
Пытаюсь доказать при помощи неравенства Чебышева, но пока не получилось.

[svv]

Чтобы понять, что это неверно, можно взять распределение, у которого в левой, отрицательной части длинный-длинный хвост, а в положительной оно быстро «обрывается», т.е. $\mathbb P\{\xi>a\}=0$ для некоторого небольшого положительного $a$. Тогда для $\varepsilon>a+\sqrt{2D}$, но не слишком больших, правая часть неравенства будет равна нулю, а левая нет, и неравенство нарушится.

[meshok]

Спасибо! Только немного не понял, зачем нужны ограничения на скорость «обрыва», на $\varepsilon$. Берем случайную величину с мат. ожиданием равным нулю, у которой плотность для $x$ меньших нуля всегда положительна, а для положительных $x$, начиная с какого-то $x_0$, зануляется. Затем возьмем $\varepsilon$ достаточно большим, тогда справа у нас вероятность ноль, а слева не ноль.

[svv]

meshok
Только для большей конкретности примера.
Ведь если $p(x)=0$ при $x\geqslant x_0>0$, то и в ограничении «плотность для $x<0$ всегда положительна» нет необходимости. Достаточно, если $F(-x_0-\sqrt{2D})>0$.
А дальше выясняется, что и совсем занулять плотность при $x>x_0$ тоже необязательно. И так далее.

Если, наоборот, хочется ещё большей конкретики, хороший контрпример среди непрерывных распределений — "перевёрнутое" и сдвинутое экспоненциальное распределение:
$p_\xi(x)=\begin{cases}e^{x-1},&x\leqslant 1\\0,&\text{otherwise}\end{cases}\qquad M\xi=0\qquad D\xi=1$
Для непрерывных — случайная величина с двумя возможными правильно выбранными значениями и их вероятностями.