Продолжение полупотоков на локально компактных пространствах

[demolishka]

Теорема 2.3, на стр. 26 книги W Shen, Y Yi "Almost automorphic and almost periodic dynamics in skew-product semiflows" утверждает, что если данный полупоток $\varphi^{t}$, $t\geq0$, на локально компактном метрическом пространстве $\mathcal{S}$ обладает свойством единственности продолжения отрицательных (backward) полуорбит, то существует продолжение полупотока до потока на всем $\mathcal{S}$. К сожалению, доказательство в книге на мой взгляд неудовлетворительно. В наиболее интересном моменте, когда надо показать непрерывность обратного $\varphi^{-t} :=(\varphi^{t})^{-1}$ для $t > 0$ авторы ссылаются на "теорему об обратной функции" из книги по топологии, в которой я никакой такой теоремы не нашел.

Другими словами, единственность продолжения означает, что преобразования $\varphi^{t} \colon \mathcal{S} \to \mathcal{S}$, $t \geq 0$, суть непрерывные биекции, а задача доказательства в том, чтобы показать, что $(t,x) \mapsto \varphi^{t}(x)$ непрерывно как отображение из $ \mathbb{R} \times \mathcal{S}$ в $\mathcal{S}$. Для этого необходимо и достаточно (тут помогает групповое свойство) показать, что $\varphi^{-t}:=(\varphi^{t})^{-1}$ для фиксированного $t>0$ непрерывно как отображение $\mathcal{S} \to \mathcal{S}$.

Мне известны лишь две общие ситуации автоматической непрерывности обратного отображения - если $\mathcal{S}$ компактно (совсем просто) или $\mathcal{S}$ локально евклидово (т. Брауэра об инвариантности области). Для случая локально компактного $\mathcal{S}$ мне ничего неизвестно. Контрпримеры в этом случае могли бы послужить основой для контрпримера к утверждению теоремы.

[g______d]

demolishka в сообщении #1439267 писал(а):

Для случая локально компактного $\mathcal{S}$ мне ничего неизвестно.

Сужение обратного отображения на любое компактное подмножество непрерывно. Разве из этого не следует то, что нужно (учитывая, что $\mathcal S$ локально компактное метрическое)?

[demolishka]

g______d в сообщении #1439270 писал(а):

любое компактное

Почему любое? Вроде имеем право сужать только на образы компактов. И в этом на мой взгляд главная проблема. Компакты изначально может и были хорошими (с внутренностями), а вот как устроены их образы нам ничего неизвестно и узнать что-нибудь про них это наверное почти как решить задачу.

g______d в сообщении #1439270 писал(а):

непрерывно

С учетом того, что сказано выше - непрерывно в индуцированной топологии на этом компакте (который образ компакта), про который мы ничего не знаем. Ну типа, как проверить непрерывность в точке $y \in \mathcal{S}$? Нужно подходить к этой точке в пространстве $\mathcal{S}$. Непрерывность в индуцированной топологии на образах компактов дает нам лишь информацию о том, что происходит, если мы подходим к $y$ только по этим компактам.

[g______d]

Да, я стормозил, подумаю ещё.

-- Пн, 10 фев 2020 15:44:56 --

Если пространства разные, есть простой контрпример: склеить концы $[0,1)$ в окружность.

С его помощью можно построить пример с одинаковыми пространствами: взять счётное число копий $[0,1)$ и счётное число копий окружности (например, разместив их все на плоскости), а отображение устроить так: один экземпляр $[0,1)$ склеить в одну из окружностей, а остальные отобразить друг в друга тождественно со сдвигом (поскольку у нас счётное число копий и тех и других, мы всегда может взять лишний экземпляр).

[demolishka]

g______d в сообщении #1439273 писал(а):

С его помощью можно построить пример с одинаковыми пространствами: взять счётное число копий $[0,1)$ и счётное число копий окружности (например, разместив их все на плоскости), а отображение устроить так: один экземпляр $[0,1)$ склеить в одну из окружностей, а остальные отобразить друг в друга тождественно со сдвигом (поскольку у нас счётное число копий и тех и других, мы всегда может взять лишний экземпляр).

Большое спасибо. Что-то подобное я и ожидал увидеть. Чтобы получить биективный полупоток надо представить как элементы всей этой конструкции непрерывно переходят друг в друга. Тут наверное лучше окружности вложить друг в друга, а отрезки - друг над другом. Получается что-то типа такого

Тут $\varphi^{1}$ непрерывная биекция, но обратное не непрерывно.

Только локальная компактность нарушается в красной точке ...